Question

如图，正方形ABCD中，点E、F、G分别为边AB、BC、AD上的中点，连接AF、DE交于点M，连接GM、CG，CG与DE交于点N，则结论①GM⊥CM；②CD＝DM；③四边形AGCF是平行四边形；④∠CMD＝∠AGM中正确的有（　　）个．

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Answer

B

【解析】

先根据正方形的性质和中点的性质判断③正确，再根据SAS证出△ADE≌△BAF，得出∠AME＝90°，从而证出∠GND＝90°再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得出DG=MG,，利用等腰三角形的三线合一，得出DN=MN，从而得出CG垂直平分DM，从而得出①②正确，再利用等腰三角形的性质和四边形的内角和证明④不成立即可．

【解析】
正方形ABCD中，AD=BC

∵点E、F、分别为边AB、BC上的中点，

∴AG∥FC且AG＝FC，

∴四边形AGCF为平行四边形，故③正确；

∴AF//CG

∴∠GAF＝∠FCG＝∠DGC，∠AMN＝∠GND

在△ADE和△BAF中，

∵，

∴△ADE≌△BAF（SAS），

∴∠ADE＝∠BAF，

∵∠ADE+∠AEM＝90°

∴∠EAM+∠AEM＝90°

∴∠AME＝90°

∴∠GND＝90°

∴DE⊥CG．

∵∠AMD＝90°,G点为AD中点，

∴DG=MG, DE⊥CG．

∴CG垂直平分DM，

∴CD＝CM，

但是∠MDC不等于60°，所以

CD不等于DM故②错误；

在△GDC和△GMC中，

∵ ，

∴△GDC≌△GMC（SSS），

∴∠CDG＝∠CMG＝90°，∠MGC＝∠DGC，

∴GM⊥CM，故①正确；

∵∠CDG＝∠CMG＝90°，

∴∠MGD+∠DCM=360°-∠CDG-∠CMG=180°

∵∠AGM+∠MGD=180°，

∴∠AGM＝∠DCM，

∵CD＝CM，

∴∠CMD＝∠CDM，

在Rt△AMD中，∠AMD＝90°，

∴DM＜AD，

∴DM＜CD，

∴∠DMC≠∠DCM，

∴∠CMD≠∠AGM，故④错误．

故选：B．