Question

已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，点P从点B出发，沿BC向点C匀速运动，速度为lcm/s；同时，点Q从点A出发，沿AB向点B匀速运动，速度为2cm/s；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜2.5），解答下列问题：

（1）①BQ＝　   　，BP＝　   　；（用含t的代数式表示）

②设△PBQ的面积为y（cm²），试确定y与t的函数关系式；

（2）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使△PBQ的面积为△ABC面积的二分之一？如果存在，求出t的值；不存在，请说明理由；

（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使△BPQ为等腰三角形？如果存在，求出t的值；不存在，请说明理由．

Answer

（1）①5﹣2t，t②y=﹣t2+t（2）不存在某一时刻t，使△PBQ的面积为△ABC面积的二分之一（3）t为秒或秒或秒时，△BPQ为等腰三角形

【解析】

（1）①先利用勾股定理求出AB，即可得出结论；②过点Q作QD⊥BC于D，进而得出△BDQ∽△BCA，用t表示出DQ，最后用三角形的面积公式即可得出结论；

（2）先求出△ABC的面积，再利用△PBQ的面积为△ABC面积的二分之一，建立关于t的方程，进而判断出此方程无解，即可得出结论；

（3）分三种情况，利用等腰三角形的性质和相似三角形的性质，得出比例式建立关于t的方程求解，即可得出结论．

（1）①在Rt△ABC中，AC＝3cm，BC＝4cm，

根据勾股定理得，AB＝5cm，

由运动知，BP＝t，AQ＝2t，

∴BQ＝AB﹣AQ＝5﹣2t，

故答案为：5﹣2t，t；

②如图1，过点Q作QD⊥BC于D，

∴∠BDQ＝∠C＝90°，

∵∠B＝∠B，

∴△BDQ∽△BCA，

∴，

∴，

∴DQ＝（5﹣2t）

∴y＝S△PBQ＝BP•DQ＝×t× （5﹣2t）＝﹣t2+t；

（2）不存在，

理由：∵AC＝3，BC＝4，

∴S△ABC＝×3×4＝6，

由（1）知，S△PBQ＝﹣t2+t，

∵△PBQ的面积为△ABC面积的二分之一，

∴﹣t2+t＝3，

∴2t2﹣5t+10＝0，

∵△＝25﹣4×2×10＜0，

∴此方程无解，

即：不存在某一时刻t，使△PBQ的面积为△ABC面积的二分之一；

（3）由（1）知，AQ＝2t，BQ＝5﹣2t，BP＝t，

∵△BPQ是等腰三角形，

∴①当BP＝BQ时，

∴t＝5﹣2t，

∴t＝ ，

②当BP＝PQ时，如图2过点P作PE⊥AB于E，

∴BE＝BQ＝（5﹣2t），

∵∠BEP＝90°＝∠C，∠B＝∠B，

∴△BEP∽△BCA，

∴，

∴ ，

∴t＝

③当BQ＝PQ时，如图3，过点Q作QF⊥BC于F，

∴BF＝BP＝t，

∵∠BFQ＝90°＝∠C，∠B＝∠B，

∴△BFQ∽△BCA，

∴，

∴，

∴t＝，

即：t为秒或秒或秒时，△BPQ为等腰三角形．