Question

如图，在△ABC中，AB＝AC，D是边BC的中点，DE⊥AC，垂足为点 E．

(1)求证：DE•CD＝AD•CE；

(2)设F为DE的中点，连接AF、BE，求证：AF•BC＝AD•BE．

Answer

(1)证明见解析；(2)证明见解析.

【解析】

（1）由AB=AC，D是边BC的中点，利用等腰三角形的性质可得出∠ADC=90°，由同角的余角相等可得出∠ADE=∠DCE，结合∠AED=∠DEC=90°可证出△AED∽△DEC，再利用相似三角形的性质可证出DE•CD=AD•CE；

（2）利用等腰三角形的性质及中点的定义可得出CD=BC，DE=2DF，结合DE•CD=AD•CE可得出，结合∠BCE=∠ADF可证出△BCE∽△ADF，再利用相似三角形的性质可证出AF•BC=AD•BE．

(1)∵AB＝AC，D是边BC的中点，

∴AD⊥BC，

∴∠ADC＝90°，

∴∠ADE+∠CDE＝90°．

∵DE⊥AC，

∴∠CED＝90°，

∴∠CDE+∠DCE＝90°，

∴∠ADE＝∠DCE．

又∵∠AED＝∠DEC＝90°，

∴△AED∽△DEC，

∴，

∴DE•CD＝AD•CE；

(2)∵AB＝AC，

∴BD＝CD＝BC，

∵F为DE的中点，

∴DE＝2DF．

∵DE•CD＝AD•CE，

∴2DF•BC＝AD•CE，

∴，

又∵∠BCE＝∠ADF，

∴△BCE∽△ADF，

∴，

∴AF•BC＝AD•BE．