Question

（本题满分10分）如图，已知⊙的直径AB=12cm,AC是⊙的弦，过点C作⊙的切线交BA的延长线于点P，连接BC

（1）求证：∠PCA=∠B

（2）已知∠P=40°，点Q在优弧ABC上，从点A开始逆时针运动到点C停止（点Q与点C不重合），当△ABQ与△ABC的面积相等时，求动点Q所经过的弧长

Answer

（1）证明见解析；

（2）当△ABQ与△ABC的面积相等时，动点Q所经过的弧长为或．

【解析】

试题（1）连接OC，由PC是⊙O的切线，得到∠1+∠PCA=90°，由AB是⊙O的直径，得到∠2+∠B=90°，从而得到结论；

（2）△ABQ与△ABC的面积相等时，有两种情况，即：当∠AOQ=∠AOC=50°时和当∠BOQ=∠AOC=50°时，分别求得点Q所经过的弧长即可．

试题解析：（1）连接OC，

∵PC是⊙O的切线，∴∠PCO=90°，∴∠1+∠PCA=90°，

∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠2+∠B=90°，

∵OC=OA，∴∠1=∠2，∴∠PCA=∠B；

（2）∵∠P=40°，∴∠AOC=50°，

∵AB=12，∴AO=6，

当∠AOQ=∠AOC=50°时，△ABQ与△ABC的面积相等，

∴点Q所经过的弧长=，

当∠BOQ=∠AOC=50°时，即∠AOQ=130°时，△ABQ与△ABC的面积相等，

∴点Q所经过的弧长=．

∴当△ABQ与△ABC的面积相等时，动点Q所经过的弧长为或．