Question

如图，已知抛物线y=x²＋bx＋c与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），与y轴交于点C（0，－3），对称轴是直线x=1，直线BC与抛物线的对称轴交于点D．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）求直线BC的函数表达式；

（3）点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交CE于点F，交抛物线于P、Q两点，且点P在第三象限．

①当线段PQ=AB时，求tan∠CED的值；

②当以点C、D、E为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P的坐标．

Answer

（1）抛物线的函数表达式为y=x2－2x－3．（2）直线BC的函数表达式为y=x－3．（3）①．①P1（1－，－2），P2（1－，）．

【解析】

已知C点的坐标，即知道OC的长，可在直角三角形BOC中根据∠BCO的正切值求出OB的长，即可得出B点的坐标．已知了△AOC和△BOC的面积比，由于两三角形的高相等，因此面积比就是AO与OB的比．由此可求出OA的长，也就求出了A点的坐标，然后根据A、B、C三点的坐标即可用待定系数法求出抛物线的解析式．

（1）∵抛物线的对称轴为直线x=1，

∴−＝1

∴b=-2

∵抛物线与y轴交于点C（0，-3），

∴c=-3，

∴抛物线的函数表达式为y=x2-2x-3；

（2）∵抛物线与x轴交于A、B两点，

当y=0时，x2-2x-3=0．

∴x1=-1，x2=3．

∵A点在B点左侧，

∴A（-1，0），B（3，0）

设过点B（3，0）、C（0，-3）的直线的函数表达式为y=kx+m，

则，

∴

∴直线BC的函数表达式为y=x-3；

（3）①∵AB=4，PQ=AB，

∴PQ=3

∵PQ⊥y轴

∴PQ∥x轴，

则由抛物线的对称性可得PM=，

∵对称轴是直线x=1，

∴P到y轴的距离是，

∴点P的横坐标为−，

∴P（−，−）

∴F（0，−），

∴FC=3-OF=3-=

∵PQ垂直平分CE于点F，

∴CE=2FC=

∵点D在直线BC上，

∴当x=1时，y=-2，则D（1，-2），

过点D作DG⊥CE于点G，

∴DG=1，CG=1，

∴GE=CE-CG=-1=．

在Rt△EGD中，tan∠CED=．

②P1（1-，-2），P2（1-，-）．

设OE=a，则GE=2-a，

当CE为斜边时，则DG2=CG•GE，即1=（OC-OG）•（2-a），

∴1=1×（2-a），

∴a=1，

∴CE=2，

∴OF=OE+EF=2

∴F、P的纵坐标为-2，

把y=-2，代入抛物线的函数表达式为y=x2-2x-3得：x=1+或1-

∵点P在第三象限．

∴P1（1-，-2），

当CD为斜边时，DE⊥CE，

∴OE=2，CE=1，

∴OF=2.5，

∴P和F的纵坐标为：-，

把y=-，代入抛物线的函数表达式为y=x2-2x-3得：x=1-，或1+，

∵点P在第三象限．

∴P2（1-，-）．

综上所述：满足条件为P1（1-，-2），P2（1-，-）．