Question

如图，以G（0，1）为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，点E为⊙G上一动点，CF⊥AE于F．当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为（　　）

A.     B.     C.     D.

Answer

B

【解析】连接AC，AG，由OG垂直于AB，利用垂径定理得到O为AB的中点，由G的坐标确定出OG的长，在直角三角形AOG中，由AG与OG的长，利用勾股定理求出AO的长，进而确定出AB的长，由CG+GO求出OC的长，在直角三角形AOC中，利用勾股定理求出AC的长，由CF垂直于AE，得到三角形ACF始终为直角三角形，点F的运动轨迹为以AC为直径的半径，如图中红线所示，当E位于点B时，CO⊥AE，此时F与O重合；当E位于D时，CA⊥AE，此时F与A重合，可得出当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长，在直角三角形ACO中，利用锐角三角函数定义求出∠ACO的度数，进而确定出所对圆心角的度数，再由AC的长求出半径，利用弧长公式即可求出的长．

连接AC，AG，

∵GO⊥AB，

∴O为AB的中点，即AO=BO=AB，

∵G（0，1），即OG=1，

∴在Rt△AOG中，根据勾股定理得：AO=，

∴AB=2AO=2，

又CO=CG+GO=2+1=3，

∴在Rt△AOC中，根据勾股定理得：AC=，

∵CF⊥AE，

∴△ACF始终是直角三角形，点F的运动轨迹为以AC为直径的半圆，

当E位于点B时，CO⊥AE，此时F与O重合；当E位于D时，CA⊥AE，此时F与A重合，

∴当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长，

在Rt△ACO中，tan∠ACO=，

∴∠ACO=30°，

∴度数为60°，

∵直径AC=2，

∴的长为，

则当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长．

故选B．