Question

如图，⊙O的直径AB长为12，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D．

（1）求证：AC平分∠DAB．

（2）设AD交⊙O于点M，当∠B＝60°时，求弧AM的长．

Answer

（1）证明见解析；（2）弧AM的长为2π．

【解析】

（1）连接OC，根据切线性质求出OC⊥CD，根据平行线的判定得出AD∥OC，即可求出答案；

（2）连接BM和OM，求出∠AOM的度数，根据弧长公式求出即可．

（1）证明：连接OC，

∵DC是⊙O的切线，

∴OC⊥DC，

∵AD⊥CD，

∴AD∥OC，

∴∠DAC＝∠OCA，

∵OA＝OC，

∴∠OCA＝∠OAC，

∴∠DAC＝∠OAC，

即AC平分∠DAB；

（2）【解析】

连接BM、OM，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠AMB＝90°，∠ACB＝90°，

∵∠ABC＝60°，

∴∠CAB＝30°，

∴∠DAB＝2×30°＝60°，

∴∠MBA＝30°，

∴∠MOA＝60°，

∴弧AM的长为： ＝2π．