Question

如图，抛物线y=x²+bx+c与x轴交于点A和B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点M是抛物线上在x轴下方的动点，过M作MN∥y轴交直线BC于点N，求线段MN的最大值；

（3）E是抛物线对称轴上一点，F是抛物线上一点，是否存在以A，B，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）y=x2﹣4x+3；（2）；（3）存在．点F的坐标为（2，﹣1）或（0，3）或（4，3）．

【解析】

（1）由点B、C的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）设出点M的坐标以及直线BC的解析式，由点B、C的坐标利用待定系数法即可求出直线BC的解析式，结合点M的坐标即可得出点N的坐标，由此即可得出线段MN的长度关于m的函数关系式，再结合点M在x轴下方可找出m的取值范围，利用二次函数的性质即可解决最值问题；
（3）讨论：当以AB为对角线，利用EA=EB和四边形AFBE为平行四边形得到四边形AFBE为菱形，则点F也在对称轴上，即F点为抛物线的顶点，所以F点坐标为（-1，-4）；当以AB为边时，根据平行四边形的性质得到EF=AB=4，则可确定F的横坐标，然后代入抛物线解析式得到F点的纵坐标．

【解析】
（1）将点B（3，0）、C（0，3）代入抛物线y=x2+bx+c中，

得： ，

解得：．

故抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3．

（2）设点M的坐标为（m，m2﹣4m+3），设直线BC的解析式为y=kx+3，

把点B（3，0）代入y=kx+3中，

得：0=3k+3，解得：k=﹣1，

∴直线BC的解析式为y=﹣x+3．

∵MN∥y轴，

∴点N的坐标为（m，﹣m+3）．

∵抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，

∴抛物线的对称轴为x=2，

∴点（1，0）在抛物线的图象上，

∴1＜m＜3．

∵线段MN=﹣m+3﹣（m2﹣4m+3）=﹣m2+3m=﹣（m﹣）2+，

∴当m=时，线段MN取最大值，最大值为．

（3）存在．点F的坐标为（2，﹣1）或（0，3）或（4，3）．

当以AB为对角线，如图1，

∵四边形AFBE为平行四边形，EA=EB，

∴四边形AFBE为菱形，

∴点F也在对称轴上，即F点为抛物线的顶点，

∴F点坐标为（2，﹣1）；

当以AB为边时，如图2，

∵四边形AFBE为平行四边形，

∴EF=AB=2，即F2E=2，F1E=2，

∴F1的横坐标为0，F2的横坐标为4，

对于y=x2﹣4x+3，

当x=0时，y=3；

当x=4时，y=16﹣16+3=3，

∴F点坐标为（0，3）或（4，3）．

综上所述，F点坐标为（2，﹣1）或（0，3）或（4，3）．