Question

如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，将对角线AC绕对角线交点O旋转，分别交边AD、BC于点E、F，点P是边DC上的一个动点，且保持DP＝AE，连接PE、PF，设AE＝x（0＜x＜3）．

（1）填空：PC＝　   　，FC＝　   　；（用含x的代数式表示）

（2）求△PEF面积的最小值；

（3）在运动过程中，PE⊥PF是否成立？若成立，求出x的值；若不成立，请说明理由．

Answer

（1）PC=3﹣x，FC=x；（2）当x＝时，△PEF面积的最小值为；（3）PE⊥PF不成立理由见解析.

【解析】

（1）由矩形的性质可得AD∥BC，DC＝AB＝3，AO＝CO，可证△AEO≌△CFO，可得AE＝CF＝x，由DP＝AE＝x，可得PC＝3﹣x；

（2）由S△EFP＝S梯形EDCF﹣S△DEP﹣S△CFP，可得S△EFP＝x2﹣x+6＝（x﹣）2+，根据二次函数的性质可求△PEF面积的最小值；

（3）若PE⊥PF，则可证△DPE≌△CFP，可得DE＝CP，即3﹣x＝4﹣x，方程无解，则不存在x的值使PE⊥PF．

（1）∵四边形ABCD是矩形

∴AD∥BC，DC＝AB＝3，AO＝CO

∴∠DAC＝∠ACB，且AO＝CO，∠AOE＝∠COF

∴△AEO≌△CFO（ASA）

∴AE＝CF

∵AE＝x，且DP＝AE

∴DP＝x，CF＝x，DE＝4﹣x，

∴CP＝3﹣x，PC＝CD﹣DP＝3﹣x

故答案为：3﹣x，x

（2）∵S△EFP＝S梯形EDCF﹣S△DEP﹣S△CFP，

∴S△EFP＝

＝x2﹣x+6＝（x﹣）2+

∴当x＝时，△PEF面积的最小值为.

（3）不成立

理由如下：若PE⊥PF，则∠EPD+∠FPC＝90°

又∵∠EPD+∠DEP＝90°

∴∠DEP＝∠FPC，且CF＝DP＝AE，∠EDP＝∠PCF＝90°

∴△DPE≌△CFP（AAS）

∴DE＝CP

∴3﹣x＝4﹣x

则方程无解，

∴不存在x的值使PE⊥PF，

即PE⊥PF不成立．