Question

如图，已知为外心，为上一点，与的交点为，且．

①求证：；

②若，且的半径为，为内心，求的长．

Answer

①证明见解析； ②

【解析】

①先求出，然后求出△BCE和△ACB相似，根据相似三角形对应角相等可得∠A=∠CBE，再根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等可得∠A=∠D，然后求出∠D=∠CBE，然后根据等角对等边即可得证；

②连接OB、OC，根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍求出∠BOC=60°，然后判定△OBC是等边三角形，再根据等腰三角形三线合一的性质以及三角形的内心的性质可得OC经过点I，设OC与BD相交于点F，然后求出CF，再根据I是三角形的内心，利用三角形的面积求出IF，然后求出CI，最后根据OI=OC﹣CI计算即可得解．

①∵BC2=AC•CE，∴．

∵∠BCE=∠ECB，∴△BCE∽△ACB，∴∠CBE=∠A．

∵∠A=∠D，∴∠D=∠CBE，∴CD=CB；

②连接OB、OC．

∵∠A=30°，∴∠BOC=2∠A=2×30°=60°．

∵OB=OC，∴△OBC是等边三角形．

∵CD=CB，I是△BCD的内心，∴OC经过点I，设OC与BD相交于点F，则CF=BC×sin30°BC，BF=BC•cos30°BC，所以，BD=2BF=2BCBC，设△BCD内切圆的半径为r，则S△BCDBD•CF（BD+CD+BC）•r，即•BC•BC（BC+BC+BC）•r，解得：rBCBC，即IFBC，所以，CI=CF﹣IFBCBC=（2）BC，OI=OC﹣CI=BC﹣（2）BC=（1）BC．

∵⊙O的半径为3，∴BC=3，∴OI=（1）（3）=33﹣3．