Question

如图，在中，，，点为延长线上一点，连接，过分别作，垂足为，交于点，作，垂足为，交于点．

（1）求证：；

（2）如图，点在的延长线上，且，连接并延长交于点，求证：；

（3）在（2）的条件下，当时，请直接写出的值为____________________．

Answer

（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）

【解析】

（1）利用AAS证明△APN≌△CPQ，可得AN=CQ；

（2）如图2，连接BQ，证明△DBQ≌△EAN（SAS），可得DQ=EN；

（3）设AE=2x，AB=3x，则BD=2x，DCx，作辅助线，构建直角三角形和相似三角形，证明△AHE∽△AMD和△DQA∽△ANC，得，设AH=8m，AM=20m，AN=17m，再证明△EHN∽△FMN，即可得出结论．

（1）如图1．

∵AP⊥BC，AM⊥CD，∴∠APN=∠CPQ=90°，∴∠PNA+∠NAP=∠NAP+∠CQP=90°，∴∠PNA=∠CQP．

∵AB=AC，∠BAC=90°，∴AP=PC，∴△APN≌△CPQ（AAS），∴AN=CQ；

（2）如图2，连接BQ，由（1）知：AP是BC的垂直平分线，∴BQ=CQ．

∵AN=CQ，∴AN=BQ．

∵BQ=QC，∴∠QBC=∠QCB=∠NAP．

∵∠PBA=∠PAB=45°，∴∠QBA=∠BAN，∴∠DBQ=∠NAE．

∵BD=AE，∴△DBQ≌△EAN（SAS），∴DQ=EN；

（3）∵AEAB，即，∴设AE=2x，则AB=3x，BD=2x，DCx，如图3，过E作EH⊥AM，交MA的延长线于H，∴∠H=∠AMD=90°，∴EH∥DC，∴∠HEA=∠CDA，∴△AHE∽△AMD，∴．

∵∠MAC=∠CDA，∠ACN=∠DAQ=45°，∴△DQA∽△ANC，∴，由（2）知：CQ=AN，∴，∴AN=CQx，S△ADC，AM，∴，∴设AH=8m，AM=20m，AN=17m，则MN=3m．

∵EH∥FM，∴△EHN∽△FMN，∴．

故答案为：．