Question

如图，抛物线y=ax²+bx+c经过A（﹣1，0），B（4，0），C（0，3）三点，D为直线BC上方抛物线上一动点，DE⊥BC于E．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）如图1，求线段DE长度的最大值；

（3）如图2，设AB的中点为F，连接CD，CF，是否存在点D，使得△CDE中有一个角与∠CFO相等？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

(1)y=﹣x2+x+3；(2) 当a=2时，DE取最大值，最大值是；（3）存在点D，使得△CDE中有一个角与∠CFO相等，点D的横坐标为或．

【解析】

（1）根据待定系数法，可得函数解析式；

（2）根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得DM，根据相似三角形的判定与性质，可得DE的长，根据二次函数的性质，可得答案；

（3）根据正切函数，可得∠CFO，根据相似三角形的性质，可得GH，BH，根据待定系数法，可得CG的解析式，根据解方程组，可得答案．

（1）由题意，得，

解得，

抛物线的函数表达式为y=-x2+x+3；

（2）设直线BC的解析是为y=kx+b，

，

解得，

∴y=-x+3，

设D（a，-a2+a+3），（0＜a＜4），过点D作DM⊥x轴交BC于M点，如图1

，

M（a，-a+3），

DM=（-a2+a+3）-（-a+3）=-a2+3a，

∵∠DME=∠OCB，∠DEM=∠BOC，

∴△DEM∽△BOC，

∴，

∵OB=4，OC=3，

∴BC=5，

∴DE=DM

∴DE=-a2+a=-（a-2）2+，

当a=2时，DE取最大值，最大值是，

（3）假设存在这样的点D，△CDE使得中有一个角与∠CFO相等，

∵点F为AB的中点，

∴OF=，tan∠CFO==2，

过点B作BG⊥BC，交CD的延长线于G点，过点G作GH⊥x轴，垂足为H，如图2

，

①若∠DCE=∠CFO，

∴tan∠DCE==2，

∴BG=10，

∵△GBH∽BCO，

∴

∴GH=8，BH=6，

∴G（10，8），

设直线CG的解析式为y=kx+b，

∴，

解得，

∴直线CG的解析式为y=x+3，

∴，

解得x=，或x=0（舍）．

②若∠CDE=∠CFO，

同理可得BG=，GH=2，BH=，

∴G（，2），

同理可得，直线CG的解析是为y=-x+3，

∴，

解得x=或x=0（舍），

综上所述，存在点D，使得△CDE中有一个角与∠CFO相等，点D的横坐标为或．