Question

如图，AD是等腰△ABC底边BC上的高，点O是AC中点，延长DO到E，使AE∥BC，连接AE．

（1）求证：四边形ADCE是矩形；

（2）①若AB＝17，BC＝16，则四边形ADCE的面积＝　   　．

②若AB＝10，则BC＝　   　时，四边形ADCE是正方形．

Answer

(1)见解析；（2）①120； ②.

【解析】

试题（1）根据平行四边形的性质得出四边形ADCE是平行四边形，根据垂直推出∠ADC=90°，根据矩形的判定得出即可；

（2）①求出DC，根据勾股定理求出AD，根据矩形的面积公式求出即可；

②要使ADCE是正方形，只需要AC⊥DE，即∠DOC=90°，只需要OD2+OC2=DC2，即可得到BC的长．

试题解析：（1）证明：∵AE∥BC，∴∠AEO=∠CDO．又∵∠AOE=∠COD，OA=OC，∴△AOE≌△COD，∴OE=OD，而OA=OC，∴四边形ADCE是平行四边形．∵AD是BC边上的高，∴∠ADC=90°．∴□ADCE是矩形．

（2）①解：∵AD是等腰△ABC底边BC上的高，BC=16，AB=17，∴BD=CD=8，AB=AC=17，∠ADC=90°，由勾股定理得：AD===15，∴四边形ADCE的面积是AD×DC=15×8=120．

②当BC=时，DC=DB=．∵ADCE是矩形，∴OD=OC=5．∵OD2+OC2=DC2，∴∠DOC=90°，∴AC⊥DE，∴ADCE是正方形．