Question

如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，AD∥BC，AD=2BC，∠ABD=90°，E为AD的中点，连接BE．

（1）求证：四边形BCDE为菱形；

（2）连接AC，若AC平分∠BAD，判断AC与CD的数量关系和位置关系，并说明理由．

Answer

（1）证明见解析；（2）AC与CD的数量关系是AC=CD，位置关系是AC⊥CD．

【解析】试题（1）先证明BCDE是平行四边形，再证明一组邻边相等.

(2)连接AC,证明AD=2CD,可知ACD是30°的特殊三角形，勾股定理求AC的长.

试题解析：

（1）∵AD=2BC，E为AD的中点，

∴DE=BC，

∵AD∥BC，

∴四边形BCDE是平行四边形，

∵∠ABD=90°，AE=DE，

∴BE=DE，

∴四边形BCDE是菱形．

（2）【解析】
连接AC．

∵AD∥BC，AC平分∠BAD，

∴∠BAC=∠DAC=∠BCA，

∴AB=BC=1，

∵AD=2BC=2，

∴sin∠ADB=，

∴∠ADB=30°，

∴∠DAC=30°，∠ADC=60°，

在Rt△ACD中，∵AD=2，

∴CD=1，AC=．