Question

如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直平分半径OB，垂足为M，DE=4，连接AD，过E作AD平行线交AB延长线于点C．

（1）求⊙O的半径；

（2）求证：CE是⊙O的切线；

（3）若弦DF与直径AB交于点N，当∠DNB=30°时，求图中阴影部分的面积．

Answer

(1) ;(2)证明见解析；（3）

【解析】试题（1）连接OE，利用垂径定理，特殊三角形OEM求半径.(2) 由（1）知：∠BOE=60°, 所以易得∠CEO是90°.（3）利用S扇形EOF-S△EOF求面积

试题解析：

解答 （1）【解析】
连接OE．
∵DE垂直平分半径OB，
∴OM=OB
∵OB=OE，
∴OM=OE，ME=DE=2，
∴∠OEM=30°，
∴OE= =；

（2）证明：由（1）知：∠BOE=60°，弧BE，
∴∠A=∠BOE=30°，
∴∠ADE=60°
∵AD∥CE，
∴∠CED=∠ADE=60°，
∴∠CEO=∠CED+∠OEM=60°+30°=90°，
∴OE⊥EC，
∴EC是⊙O的切线；

（3）【解析】
连接OF．
∵∠DNB=30°，
∵∠DMA=90°，
∴∠MDN=60°，
∴∠EOF=2∠EDF=120°，
∴S阴影=S扇形EOF-S△EOF=-=．