Question

如图1，已知抛物线L_：y=ax²+bx﹣1.5(a＞0)与x轴交于点A(-1,0)和点B，顶点为M，对称轴为直线l：x=1.

（1）直接写出点B的坐标及一元二次方程ax²+bx﹣1.5=0的解．

（2）求抛物线L的解析式及顶点M的坐标．

（3）如图2，设点P是抛物线L上的一个动点，将抛物线L平移．使它的頂点移至点P，得到新抛物线L′，L′与直线l相交于点N．设点P的横坐标为m

①当m=5时，PM与PN有怎样的数量关系？请说明理由．

②当m为大于1的任意实数时，①中的关系式还成立吗？为什么？

③是否存在这样的点P，使△PMN为等边三角形？若存在．请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）x1=﹣1，x2=3；（2）y=0.5x2﹣x﹣1.5，顶点M的坐标为（1，﹣2）；（3）①PM=PN；理由见解析；②PM=PN仍然成立．理由见解析；③点P的坐标为（，﹣）．

【解析】

（1）由y=ax2+bx-1.5（a＞0）与x轴交于点A（-1，0）和点B，对称轴为直线l：x=1，根据抛物线的对称性可求得B点坐标，根据二次函数与一元二次方程的关系可得A、B两点横坐标的值即为一元二次方程ax2+bx-1.5=0的解；

（2）把A、B两点的坐标代入y=ax2+bx-1.5，得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组求出a、b的值，得到抛物线L的解析式，再利用配方法化为顶点式，即可得到顶点M的坐标；

（3）作PC⊥l于点C．

①根据点P是抛物线L上的一个动点及（2）中所求解析式，当m=5时，把x=5代入y=（x-1）2-2，求出y=6，得到P点坐标，从而得到点C的坐标，由点P为新抛物线L′的顶点及解析式平移的规律得出L′的解析式，再求出点N的坐标，通过计算得出CM=CN，然后根据线段垂直平分线的性质即可得出PM=PN；

②根据点P是抛物线L上的一个动点及（2）中所求解析式，得出点P的坐标为（m，m2-m-1.5），从而得到点C的坐标，由点P为新抛物线L′的顶点及解析式平移的规律得出L′的解析式为y=（x-m）2+m2-m-1.5，再求出点N的坐标，通过计算得出CM=CN，然后根据线段垂直平分线的性质即可得出PM=PN；

③当△PMN为等边三角形时，根据等腰三角形三线合一的性质得出PC平分∠MPN，即∠CPN=30°，利用正切函数定义得出=tan30°，即m2-m+1.5=（m-1），解方程求出m的值，进而得到点P的坐标．

（1）如图1，

∵y=ax2+bx-1.5（a＞0）与x轴交于点A（-1，0）和点B，对称轴为直线l：x=1，

∴点A和点B关于直线l：x=1对称，

∴点B（3，0），

∴一元二次方程ax2+bx-1.5=0的解为x1=-1，x2=3；

（2）把A（-1，0），B（3，0）代入y=ax2+bx-1.5，

得，

解得，

抛物线L的解析式为y=x2-x-1.5，

配方得，y=（x-1）2-2，

所以顶点M的坐标为（1，-2）；

（3）如图2，作PC⊥l于点C．

①∵y=（x-1）2-2，

∴当m=5，即x=5时，y=6，

∴P（5，6），

∴此时L′的解析式为y=（x-5）2+6，点C的坐标是（1，6）．

∵当x=1时，y=14，

∴点N的坐标是（1，14）．

∵CM=6-（-2）=8，CN=14-6=8，

∴CM=CN．

∵PC垂直平分线段MN，

∴PM=PN；

②PM=PN仍然成立．

由题意有点P的坐标为（m，m2-m-1.5）．

∵L′的解析式为y=（x-m）2+m2-m-1.5，

∴点C的坐标是（1，m2-m-1.5），

∴CM=m2-m-1.5+2=m2-m+．

∵在L′的解析式y=（x-m）2+m2-m-1.5中，

∴当x=1时，y=m2-2m-1，

∴点N的坐标是（1，m2-2m-1），

∴CN=（m2-2m-1）-（m2-m-1.5）=m2-m+，

∴CM=CN．

∵PC垂直平分线段MN，

∴PM=PN；

③存在这样的点P，使△PMN为等边三角形．

若=tan30°，则m2-m+=（m-1），

解得m=，

所以点P的坐标为（，-）．