Question

已知：在△ABC中，AB＝AC＝6，∠B＝30°，E为BC上一点，BE＝2EC，DE＝DC，∠ADC＝60°，则AD的长_____．

Answer

2

【解析】

过A点做AG⊥BC，连接AE,可得△BAE为RT△，且∠AEB=60，∠AEC=120，AE=CE，四边形DAEC共圆，可得∠ADE=∠CDE=∠ADC=60°=30，过点A做AO⊥CD与O点，可得△OAC为等腰直角三角形，可得OA的长，进而求出AD的长.

【解析】
如图：

过A点做AG⊥BC，连接AE，AB=AC

G为BC的中点，在RT△ABG中，AB=AC=6，∠B=30°

∠ACB=30°,AG==3,BG=CG=,

BC=2BG=，

又BE=2EC，可得BE=，CE=,GE=

在RT△AGE中，AE===,

AE=CE=,

在△BAE中，AB=6，BE=,AE=,

可得

△BAE为RT△,∠BAE=90，

∠B=30,

∠AEB=60, ∠AEC=120,

在四边形DAEC中，∠ADC=60°，∠AEC=120，

∠ADC+∠AEC=180°，

四边形DAEC共圆，

AE=CE=

∠ADE=∠CDE=∠ADC=60°=30,

过点A做AO⊥CD与O点，

在△DCE中，∠CDE=30,DE=DC

∠DCE==75，∠ACB=30

∠OCA=45，△OAC为等腰直角三角形

在RT△OAC中，AC=6，∠OCA=45，AO= AC=,

在RT△AOD中, AO=,∠ADO=60,可得AD==.

故答案：.