Question

在平行四边形ABCD中，O为对角线BD的中点，EF经过点O分别交AD、BC于E、F两点，

（1）如图1，求证：AE＝CF；

（2）如图2，若EF⊥BD，∠AEB＝60°，请你直接写出与DE（DE除外）相等的所有线段．

Answer

(1)证明见解析；（2）BE、BF、EF、DF.

【解析】

（1）根据平行四边形的性质以及全等三角形的判定方法证明出△EOD≌△FOB,得到DE=BF,可得结论：

（2）由（1）OE=OF，而利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形得出四边形BFDE为菱形,由∠AEB=60°可得△BEF与△BEF为等边三角形，从而得到结论.

(1)证明:四边形ABCD是平行四边形, BD为平行四边形ABCD对角线BD

AD//BC,AD=BC,OB=OD.

∠OED=∠OFB, ∠EDO=∠FBO.

在△EOD与△FOB中，，

△EOD≌△FOB

ED=BF,

又 AD=BC

AE=CF.

（2）由（1）得△EOD≌△FOB

OE=OF,

由OB=OD，EF⊥BD

四边形BFDE为菱形，

∠AEB=60°，∠BED=120°,且四边形BFDE为菱形，

∠BEF=∠DEF=60°, △BEF与△BEF为等边三角形，

与DE相等的所有线段为：BE、BF、EF、DF.