Question

如图，二次函数y＝ax²﹣4ax（a≠0）的图象与直线y＝kx+3交于点A（﹣1，）、点C两点．

（1）求a，k的值；

（2）点P在第一象限的抛物线上，其横坐标为t，连接PC、PA，设△PCA的面积为S，求S关于t的函数关系式：（直接写出t的取值范围）

（3）在（2）的条件下，作CE⊥x轴于E，点P直线y＝kx+3下方时，连接OP、BC交于D，连接ED，当∠ODE＝90°时，求t和S的值．

Answer

（1）a＝，k＝；(2)S＝,（4＜t＜6）或,( t＞6)； (3)解得t=5，S=.

【解析】

(1)将A（－1，）代入二次函数y=ax2-4ax（a≠0）与直线y=kx+3中，可得a，k的值;

(2)分P点再BC中，与BC右侧两种情况讨论计算可得答案；

（3）由∠ODE=90°，=-1，可得方程D点坐标，计算可得t，s的值.

【解析】
（1）将A（－1，）代入二次函数y=ax2-4ax（a≠0）与直线y=kx+3；

可得：a＝，k＝；

（2）易得B点坐标（4，0），联立二次函数y=，与一次函数y=，可得

C点坐标（6，6），

如图

当P点再BC中间时候，横坐标为t，（4＜t＜6），可得P(t，)，D(t，)

=-()=，

过点P做AC的垂线垂足为D，过A点做DP的垂线，设垂线长为，过C点做DP的垂线, 垂线长为,可得==7,

= （）= （）7=,（4＜t＜6）；

如图，

同理，当P点再C右侧时，即t＞6时，

同理过点PD⊥x轴，交AC与D点，过点C做垂线垂直PD，垂线长为，过A点做垂线垂直PD，垂线长为，易得==7，=-()=,

易得：= （）=,( t＞6)

（3）如图

易得：E点坐标（6，0），B点（4，0），

可得BC直线的方程：y=3x-12，

设D点坐标为（x，3x-12），4＜x＜6，由∠ODE=90°，

可得=-1，可得，，

化简得：;

可得：=3（舍去），=，

可得：D点坐标（，）

可得OD的方程为y=，

联立OD与二次函数的方程可得：

可得x=5，即t=5，

代入=,可得S=,

故答案：t=5，s=.