Question

问题原型：如图①，在锐角中，，AD⊥BC于D，在AD上取点E，使，连结BE.求证：.问题拓展：如图②，在问题原型的条件下，为的中点，连结并延长至点，使，连结.

图①图②

（1）判断线段与的大小关系，并说明理由.（2）若，直接写出、两点之间的距离.

Answer

问题原型：见解析；（1），见解析；（2）.

【解析】

问题原型：由AD⊥BC可得∠ADB=∠ADC=90°，又∠ABC=45°可得∠ABC=∠BAD，可得AD=BD，根据SAS定理可得△BDE≌△ADC；
问题拓展：（1）利用SAS判断出△BEF≌△CMF，得出BE=CM，即可得出结论；
（2）借助问题原型与问题延伸的结论判断出△ACM是等腰直角三角形，即可得出结论．

【解析】
问题原型：∵，

∴.

∴.

∴.

∴.

∴.

∵，

∴.

∴；

问题拓展：（1）.

理由：∵为的中点，

∴.

∵，，

∴.

∴.

∵，

∴；

（2）如图②，

图②
连接AM，由（1）知，△BDE≌△ADC，
∴∠BED=∠ACD，
由（2）知，△BEF≌△CMF，
∴∠EBF=∠BCM，
∴∠ACM=∠ACD+∠BCM=∠BED+∠EBF=90°，
∵AC=CM，
∴AM=AC=4．

故答案为：（1），见解析；（2）.