Question

如图，己知点A是双曲线y=kx^-1(k>0)上的一个动点，连AO并延长交另一分支于点B，以AB为边作等边△ABC，点C在第四象限．随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线y=mx^-1(m<0)上运动，则m与k的关系是（       ）

A. m= -k B. m=k C. m= -2k D. m= -3k

Answer

D

【解析】

设点A的坐标为（a，），连接OC，则OC⊥AB，表示出OC，过点C作CD⊥x轴于点D，设出点C坐标，在Rt△OCD中，利用勾股定理可得出x2的值，进而得出结论．

如图，

设A（a，），

∵点A与点B关于原点对称，

∴OA=OB，

∵△ABC为等边三角形，

∴AB⊥OC，OC=AO，

∵AO=

∴CO=，

过点C作CD⊥x轴于点D，

则可得∠AOD=∠OCD（都是∠COD的余角），

设点C的坐标为（x，y），则tan∠AOD=tan∠OCD，即

解得y=-．

在Rt△COD中，CD2+OD2=OC2，即y2+x2=3a2+，将y=-代入得，x2=，

∴x=，y=-=-，

∴m=xy==-3k．

故选D．