Question

如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BC相交于点N，连接BM，DN．

（1）求证：四边形BMDN是菱形；

（2）若AB=4，AD=8，求MD的长．

Answer

（1）证明见解析；（2）5．

【解析】

试题（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC。∴∠BNO=∠DMO，∠NBO=∠MDO。

∵MN是BD的中垂线，∴OB=OD，BD⊥MN。

∴△BNO≌△DMO（AAS）。∴ON=OM。

∴四边形BMDN的对角线互相平分。∴四边形BMDN是平行四边形。

∵BD⊥MN，∴平行四边形BMDN是菱形。

（2）∵四边形BMDN是菱形，∴MB=MD。

设MD长为x，则MB=DM=x，AM=8－x。

∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=900。

在Rt△AMB中，BM2=AM2+AB2，即x2=（8－x）2+42，解得：x=5。

答：MD长为5。