Question

古代有这样一个数学问题：韩信点一队士兵人数，三人一组余两人，五人一组余三人，七人一组余四人．问这队士兵至少多少人？我国古代学者早就研究过这个问题．例如明朝数学家程大位在他著的《算法统宗》中就用四句口诀暗示了此题的解法：三人同行七十稀，五树梅花甘一枝，七子团圆正半，除百零五便得知．这四句口诀暗示的意思是：当除数分别是3，5，7时，用70乘以用3除的余数（例如：韩信点兵问题中用70乘以2），用21乘以用5除的余数，用15乘以用7除的余数，然后把三个乘积相加．加得的结果如果比105大就除以105，所得的余数就是满足题目要求的最小正整数解．按这四句口诀暗示的方法计算韩信点的这队士兵的人数为__．

Answer

53．

【解析】

我们先求5与7的倍数而用3除余1的数，3与7的倍数而用5除余1的数，3与5的倍数而用7除余1的数，再利用所求得的数和3、5、7的最小公倍数3×5×7＝105求出符合题目的解．

3×5×7＝105，

70是5与7的倍数，而用3除余1，

21是3与7的倍数，而用5除余1，

15是3与5的倍数，而用7除余1，

因而

70×2是5与7的倍数，用3除余2，

21×3是3与7的倍数，用5除余3，

15×4是3与5的倍数，用7除余4，

所以70×2+21×3+15×4＝263＝2×105+53，

则得53除以3余2，53除以5余3，53除以7余4，

所以这队士兵至少有53人．

故答案为：53．