Question

在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x²-2mx+m²-m+2的顶点为D.线段AB的两个端点分别为A(-3,m),B(1,m).

(1)求点D的坐标(用含m的代数式表示);

(2)若该抛物线经过点B(1,m),求m的值;

(3)若线段AB与该抛物线只有一个公共点,结合函数的图象,求m的取值范围.

Answer

(1) D点的坐标为(m,-m+2) ;(2) m=3或m=1.;(3) 1≤m≤3.

【解析】

（1）把抛物线y=x2-2mx+m2-m+2化为顶点式，即可求得点D的坐标；（2）把(1,m)代入抛物线的解析式，可得方程m=1-2m+m2-m+2，解方程求得m的值即可；（3）求得线段AB的解析式为y=m(-3≤x≤1)，与抛物线的解析式联立得方程x2-2mx+m2-2m+2=0，令y'=x2-2mx+m2-2m+2，因抛物线y=x2-2mx+m2-m+2与线段AB只有1个公共点，即函数y'在-3≤x≤1范围内只有一个零点，由此即可解答.

(1)∵y=x2-2mx+m2-m+2=(x-m)2-m+2,∴D点的坐标为(m,-m+2).

(2)∵抛物线经过点B(1,m),∴m=1-2m+m2-m+2,解得m=3或m=1.

(3)根据题意,∵A点的坐标为(-3,m),B点的坐标为(1,m),∴线段AB为y=m(-3≤x≤1),与y=x2-2mx+m2-m+2联立得x2-2mx+m2-2m+2=0,令y'=x2-2mx+m2-2m+2,若抛物线y=x2-2mx+m2-m+2与线段AB只有1个公共点,即函数y'在-3≤x≤1范围内只有一个零点,当x=-3时,y'=m2+4m+11<0,

∵Δ>0,∴此种情况不存在,当x=1时,y'=m2-4m+3≤0,解得1≤m≤3.