Question

如图，抛物线y=x²﹣4x﹣1顶点为D，与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C．

（1）求这条抛物线的顶点D的坐标；

（2）经过点（0，4）且与x轴平行的直线与抛物线y=x²﹣4x﹣1相交于M、N两点（M在N的左侧），以MN为直径作⊙P，过点D作⊙P的切线，切点为E，求点DE的长；

（3）上下平移（2）中的直线MN，以MN为直径的⊙P能否与x轴相切？如果能够，求出⊙P的半径；如果不能，请说明理由．

Answer

（1）点D的坐标为（2，-5）；（2）DE=6；（3）能够相切，理由见解析.

【解析】

（1）利用配方法即可将函数解析式变形为：y=（x-2）2-5，由顶点式即可求得这条抛物线的顶点D的坐标；

（2）由经过点（0，4）且与x轴平行的直线与抛物线y=x2-4x-1相交于M、N两点（M在N的左侧），即可求得M与N的坐标，即可求得P的坐标，然后即可求得PE与PD的长，根据切线的性质，由勾股定理即可求得DE的长；

（3）根据已知，可得点P的横坐标为2，又由以MN为直径的⊙P与x轴相切，可得抛物线过点（2+r，r）或（2+r，-r），将点的坐标代入解析式即可求得r的值，则可证得以MN为直径的⊙P能与x轴相切．

（1）∵y=x2-4x-1=x2-4x+4-5=（x-2）2-5，

∴点D的坐标为（2，-5）；

（2）∵当y=4时，x2-4x-1=4，

解得x=-1或x=5，

∴M坐标为（-1，4），点N坐标为（5，4），

∴MN=6．P的半径为3，点P的坐标为（2，4），

连接PE，则PE⊥DE，

∵PD=9，PE=3，

根据勾股定理得DE=6；

（3）能够相切．

理由：设⊙P的半径为r，根据抛物线的对称性，抛物线过点（2+r，r）或（2+r，-r），

代入抛物线解析式得：（2+r）2-4（2+r）-1=r，

解得r=或r=（舍去），

把（2+r，-r）代入抛物线得：（2+r）2-4（2+r）-1=-r，

解得：r=，或r=（舍去）．