Question

如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝40cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤10），过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．

（1）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，请说明理由；

（2）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．

Answer

（1）能，当t＝秒时，四边形AEFD为菱形，见解析；（2）当t＝8或5秒时，△DEF为直角三角形，见解析.

【解析】

（1）能．首先证明四边形AEFD为平行四边形，当AE＝AD时，四边形AEFD为菱形，即40﹣4t＝2t，解方程即可解决问题；

（2）分三种情形讨论即可．

（1）证明：能．

理由如下：在△DFC中，∠DFC＝90°，∠C＝30°，DC＝4t，

∴DF＝2t，

又∵AE＝2t，

∴AE＝DF，

∵AB⊥BC，DF⊥BC，

∴AE∥DF，

又∵AE＝DF，

∴四边形AEFD为平行四边形，

当AE＝AD时，四边形AEFD为菱形，

即40﹣4t＝2t，解得t＝．

∴当t＝秒时，四边形AEFD为菱形．

（2）①当∠DEF＝90°时，由（1）知四边形AEFD为平行四边形，

∴EF∥AD，

∴∠ADE＝∠DEF＝90°，

∵∠A＝60°，

∴∠AED＝30°，

∴AD＝AE＝t，

又AD＝40﹣4t，即40﹣4t＝t，解得t＝8；

②当∠EDF＝90°时，四边形EBFD为矩形，在Rt△AED中∠A＝60°，则∠ADE＝30°，

∴AD＝2AE，即40﹣4t＝4t，解得t＝5．

③若∠EFD＝90°，则E与B重合，D与A重合，此种情况不存在．

综上所述，当t＝8或5秒时，△DEF为直角三角形．