Question

已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝4，另有一块等腰直角三角板的直角顶点放在C处，CP＝CQ＝2，将三角板CPQ绕点C旋转（保持点P在△ABC内部），连接AP、BP、BQ．

（1）如图1求证：AP＝BQ；

（2）如图2当三角板CPQ绕点C旋转到点A、P、Q在同一直线时，求AP的长；

（3）设射线AP与射线BQ相交于点E，连接EC，写出旋转过程中EP、EQ、EC之间的数量关系．

Answer

（1）证明见解析（2） （3）EP+EQ= EC

【解析】

（1）由题意可得：∠ACP=∠BCQ，即可证△ACP≌△BCQ，可得 AP=CQ；

作 CH⊥PQ 于 H，由题意可求 PQ=2 ，可得 CH=，根据勾股定理可求

AH= ，即可求 AP 的长；

作 CM⊥BQ 于 M，CN⊥EP 于 N，设 BC 交 AE 于 O，由题意可证△CNP≌△ CMQ，可得 CN=CM，QM=PN，即可证 Rt△CEM≌Rt△CEN，EN=EM，∠CEM=

∠CEN=45°，则可求得 EP、EQ、EC 之间的数量关系．

【解析】
（1）如图 1 中，∵∠ACB=∠PCQ=90°，

∴∠ACP=∠BCQ 且 AC=BC，CP=CQ

∴△ACP≌△BCQ（SAS）

∴PA=BQ

如图 2 中，作 CH⊥PQ 于 H

∵A、P、Q 共线，PC=2，

∴PQ=2，

∵PC=CQ，CH⊥PQ

∴CH=PH=

在 Rt△ACH 中，AH==

∴PA=AH﹣PH= -

【解析】
结论：EP+EQ= EC

理由：如图 3 中，作 CM⊥BQ 于 M，CN⊥EP 于 N，设 BC 交 AE 于 O．

∵△ACP≌△BCQ，

∴∠CAO=∠OBE，

∵∠AOC=∠BOE，

∴∠OEB=∠ACO=90°，

∵∠M=∠CNE=∠MEN=90°，

∴∠MCN=∠PCQ=90°，

∴∠PCN=∠QCM，

∵PC=CQ，∠CNP=∠M=90°，

∴△CNP≌△CMQ（AAS），

∴CN=CM，QM=PN，

∴CE=CE，

∴Rt△CEM≌Rt△CEN（HL），

∴EN=EM，∠CEM=∠CEN=45°

∴EP+EQ=EN+PN+EM﹣MQ=2EN，EC=EN，

∴EP+EQ=EC