Question

如图1，抛物线y=ax²+bx+3交x轴于点A（﹣1，0）和点B（3，0）．

（1）求该抛物线所对应的函数解析式；

（2）如图2，该抛物线与y轴交于点C，顶点为F，点D（2，3）在该抛物线上．

①求四边形ACFD的面积；

②点P是线段AB上的动点（点P不与点A、B重合），过点P作PQ⊥x轴交该抛物线于点Q，连接AQ、DQ，当△AQD是直角三角形时，求出所有满足条件的点Q的坐标．

Answer

（1）y=﹣x2+2x+3；（2）①S四边形ACFD= 4；②Q点坐标为（1，4）或（，）或（，）．

【解析】

此题涉及的知识点是抛物线的综合应用，难度较大，需要有很好的逻辑思维，解题时先根据已知点的坐标列方程求出函数解析式，然后再根据解析式和已知条件求出四边形的面积和点的坐标。

（1）由题意可得，解得，

∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；

（2）①∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，

∴F（1，4），

∵C（0，3），D（2，3），

∴CD=2，且CD∥x轴，

∵A（﹣1，0），

∴S四边形ACFD=S△ACD+S△FCD=×2×3+×2×（4﹣3）=4；

②∵点P在线段AB上，

∴∠DAQ不可能为直角，

∴当△AQD为直角三角形时，有∠ADQ=90°或∠AQD=90°，

i．当∠ADQ=90°时，则DQ⊥AD，

∵A（﹣1，0），D（2，3），

∴直线AD解析式为y=x+1，

∴可设直线DQ解析式为y=﹣x+b′，

把D（2，3）代入可求得b′=5，

∴直线DQ解析式为y=﹣x+5，

联立直线DQ和抛物线解析式可得，解得或，

∴Q（1，4）；

ii．当∠AQD=90°时，设Q（t，﹣t2+2t+3），

设直线AQ的解析式为y=k1x+b1，

把A、Q坐标代入可得，解得k1=﹣（t﹣3），

设直线DQ解析式为y=k2x+b2，同理可求得k2=﹣t，

∵AQ⊥DQ，

∴k1k2=﹣1，即t（t﹣3）=﹣1，解得t=，

当t=时，﹣t2+2t+3=，

当t=时，﹣t2+2t+3=，

∴Q点坐标为（，）或（，）；

综上可知Q点坐标为（1，4）或（，）或（，）．