Question

如图，在正方形ABCD中，点A的坐标为（，），点D的坐标为（，），且AB∥y轴，AD∥x轴． 点P是抛物线上一点，过点P作PE⊥x轴于点E，PF⊥y轴于点 F．

（1）直接写出点的坐标；

（2）若点P在第二象限，当四边形PEOF是正方形时，求正方形PEOF的边长；

（3）以点E为顶点的抛物线经过点F，当点P在正方形ABCD内部(不包含边)时，求a的取值范围．

Answer

（1）B (3，3)；（2）正方形的边长为3；（3）＞3或＜.

【解析】

（1）先利用A点和D点坐标得到正方形ABCD的边长为4，然后写出B点坐标；

（2）设点P（x，x2+2x），利用正方形的性质得到PE=PF，即x2+2x=-x，然后解方程求出x即可得到正方形PEOF的边长；

（3）设P（m，m2+2m）（m≠0），则E（m，0），F（0，m2+2m），利用顶点式表示以E为顶点的抛物线解析式为y=a（x-m）2，再把F（0，m2+2m）代入得m=，接着求出抛物线y=x2+2x与BC的交点坐标为（1，3），则利用点P在正方形ABCD内部（不包含边）得到-1＜m＜1且m≠0，然后分别解-1＜＜0和0＜＜1即可．

（1）(，)；（2）设点(，).

当四边形是正方形时，，

当点在第二象限时，有.

解得，.

∵，

∴.

∴正方形的边长为.

（3）设点(，)，则点E（，），则点F(，).

∵为抛物线顶点，

∴该抛物线解析式为.

∵抛物线经过点，

∴，化简得.

对于，令，解得； 令，解得.

∵点在正方形内部，

∴＜＜，且.

①当＜＜时

由反比例函数性质知，∴＜.

②当＜＜时

由反比例函数性质知，∴＞.