Question

综合与实践--------图形变换中的数学问题

问题情境：

如图1，已知矩形中，点是的中点，连接．将矩形沿剪开，得到四边形和四边形．

（1）求证：四边形是矩形；

操作探究：

保持矩形位置不变，将矩形从图1的位置开始，绕点按逆时针方向旋转，设旋转角为（）．操作中，提出了如下向题，请你解答：

（2）如图2，当矩形旋转到点落在线段上时，线段恰好经过点，设与相交于点.判断四边形的形状，并说明理由；

（3）请从两题中任选一题作答，我选择题．

A．在矩形旋转过程中，连接线段和．当时，直接写出旋转角的度数．

B．已知矩形中，．在矩形旋转过程中，连接线段和，当时，直接写出的长．

Answer

（1）见解析;（2）见解析;（3）A：60°或300°,B:或

【解析】

（1）由矩形ABCD的边的中点可得ED//FC，ED=FC，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形进行解答即可；（2）由（1）可得四边形EPCD为矩形，根据EA=ED即可证明四边形EPCD为正方形；（3）A题①当旋转到如图位置时，连接PF，由AP=BP可得∠PAB=∠PBA，即可证明∠PAE=∠PBF，进而利用SAS可证明△PAE≌△PBF，可得PE=PF，由PE=EF即可证明三角形PEF是等边三角形，可得旋转角∠PEF=60°，②当旋转到如图位置时，连接PF，同①可得∠PEF=60°，可得旋转角为300°；B题：在A题的基础上，①过P作PH⊥EA延长线于H，可得∠HEP=30°，根据∠HEP的三角函数可得HP、HE的长，进而可得AH的长，进而利用勾股定理求出AP的长即可，②过A作AH垂直PE延长线于H，可得∠AEH=30°，根据∠AEH的三角函数可求出AH、HE的长，进而可得PH的长，利用勾股定理求出AP的长即可.

（1）∵四边形ABCD为矩形，

∴AD//BC，AD=BC，∠D=90°，

又∵点E、F是AD、BC的中点，

∴ED//FC，ED=FC，

∴四边形EPCD为平行四边形，

又∵∠D=90°，

∴平行四边形EPCD为矩形.

（2）四边形EAGD是正方形，理由如下：

由（1）得四边形EPCD为矩形，同理可得四边形ABFE为矩形

∴∠E=∠EAB=∠EDG=90°

∴四边形EAGD是矩形

又∵EA=ED

∴矩形EAGD是正方形.

（3）A题：①当旋转到如图位置时，∠PEF为旋转角，连接PF，

∵AP=BP，

∴∠PAB=∠PBA，

∵∠EAB=∠ABF=90°，

∴∠PAE=∠PBF，

∵AE=BF，∠PAE=∠PBF，AP=BP，

∴△PAE≌△PBF，

∴PE=PF，

∵PE=EF，

∴PE=PF=EF，

∴三角形PEF是等边三角形，

∴∠PEF=60°，即旋转角为60°，

②当旋转到如图位置时，连接PF，

∵AP=BP，

∴∠PAB=∠PBA，

∴∠PAE=∠PBF，

∵AE=BF，∠PAE=∠PBF，PA=PB，

∴△PAE≌△PBF，

∴PF=PE，

∵PE=EF，

∴PE=PF=EF，

∴△PEF是等边三角形，

∴∠PEF=60°，

∴旋转角为360°-60°=300°.

综上所述：旋转角为60°或300°.

B题：①如图，过P作PH⊥EA延长线于H，

由A①得∠PEF=60°，

∵∠AEF=90°，

∴∠HEP=30°，

∴HP=PE=×10=5，HE=PEcos30°=5，

∴AH=HE-AE=5-4=，

∴AP===2，

②如图，过A作AH垂直PE延长线于H，

由A②得∠PEF=60°，

∵∠AEF=90°，

∴∠AEH=30°，

∴AH=AE=2，HE=AEcos30°=6，

∴PH=PE+HE=10+6=16，

∴AP===2.

综上所述：AP的长为2或2.