Question

综合与探究

如图1，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴上，反比例函数（）的图象经过点，并与线段交于点，反比例函数（）的图象经过点，交轴于点．已知．

（1）求点的坐标及反比例函数（）的表达式；

（2）直接写出点的坐标 ；

（3）如图2，点是轴正半轴上的一个动点，过点作轴的垂线，分别交反比例函数（）与反比例函数（）的图象于点，设点的坐标为

①当时，求的值；

②在点运动过程中，是否存在某一时刻，使？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由．

Answer

（1）D（4，4）；（x>0）；（2）E（-3，）；（3）①m=5；②存在，P点坐标为（0，4+）或（0，4-）.

【解析】

（1）把A（-1，a）代入，可求出a的值，即可得A点坐标，根据B点坐标，利用勾股定理可求出AB的长，根据菱形的性质可知AB=AD，即可得D点坐标，把D点坐标代入（x>0），即可求出k值，即可得答案；（2）根据A、B坐标可得直线AB的解析式，联立即可求出E点坐标；（3）①由MN//x轴，P（0，m），可得M、N的坐标为M（，m），N（，m），根据MN=OB列方程即可求出m的值；②根据坐标可求出AE的长，即可得AP的长，由AG=1，利用勾股定理即可求出PG的长，即可得答案.

(1)过A作AQ⊥x轴于Q，

∵A在反比例函数上，

∴a==4，

∴A点坐标为（-1，4），

又∵B（-4，0），

∴BQ=3，

∴AB==5，

又∵四边形ABCD为菱形，

∴AB=AD=5，

∴D（4，4），

又∵D在反比例函数（x>0）上，

∴k=4×4=16，

∴反比例函数的表达式为

(2)设直线AB的解析式为y=kx+b,代入A、B坐标得：，

解得，

∴直线AB的解析式为y=x+，

联立反比例函数y=得，

解得：，（舍去）

∴E点坐标为（-3，），

（3）①∵B（-4，0）

∴OB=4，

∵MN//x轴，P（0，m），

∴M（，m），N（，m）

∴

∵MN=OB

∴MN==4

∴m=5

②∵A（-1，4），E（-3，），

∴AE==，

∴AP=AE=，

∵G（0，4），

∴AG=1，

∴PG====，

∴m=4+或m=4-，

∴存在某一时刻，使，P点坐标为（0，4+）或（0，4-）.