Question

如图，抛物线与直线交于A，B两点，交x轴于D，C两点，已知，．

求抛物线的函数表达式并写出抛物线的对称轴；

在直线AB下方的抛物线上是否存在一点E，使得的面积最大？如果存在，求出E点坐标；如果不存在，请说明理由．

为抛物线上一动点，连接PA，过点P作交y轴于点Q，问：是否存在点P，使得以A、P、Q为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出所有符合条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）（2）当时，的面积有最大值4，此时E点坐标为（3）满足条件的P点坐标为或或或

【解析】

利用待定系数法求抛物线解析式，根据抛物线的对称轴方程求抛物线的对称轴；
先确定直线AB的解析式为，再解方程组得，作轴交直线AB于F，如图1，设，则，则，利用三角形面积公式得到，然后根据二次函数的性质解决问题；
设，则，先利用勾股定理的逆定理判断为直角三角形，利用相似三角形的判定方法，当，∽，则，所以；当，∽，即，所以，然后分别解关于t的绝对值方程即可得到P点坐标．

把，代入得，解得，

抛物线解析式为；

抛物线的对称轴为直线；

存在．

把代入得，

直线AB的解析式为，

解方程组得或，则，

作轴交直线AB于F，如图1，

设，则，

，

，

当时，的面积有最大值4，此时E点坐标为；

设，则，

，，，

，，，

，

为直角三角形，

，

当，∽，

即，

，

解方程得舍去，，此时P点坐标为；

解方程得舍去，，此时P点坐标为；

当，∽，

即，

，

解方程得舍去，，此时P点坐标为；

解方程得舍去，，此时P点坐标为；

综上所述，满足条件的P点坐标为或或或