Question

如图，在平行四边形ABCD中，过对角线BD中点的直线交AD、BC边于F、E．

（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；

（2）当四边形BEDF是菱形时，写出EF与BD的关系．

（3）若∠A＝60°，AB＝4，BC＝6，四边形BEDF是矩形，求该矩形的面积．

Answer

（1）见解析；（2）EF与BD互相垂直平分；（3）矩形BEDF的面积为8．

【解析】

（1）根据平行四边形ABCD的性质，判定△BOE≌△DOF（ASA），得出四边形BEDF的对角线互相平分，进而得出结论；（2）根据根据菱形的性质作出判断：EF与BD互相垂直平分；（3）根据Rt△ABF的边角关系，求得BF和AF，再根据矩形的性质，求得DF的长，最后计算矩形的面积．

（1）∵四边形ABCD是平行四边形，O是BD中点，

∴BC∥AD，OB＝OD，

∴∠OBE＝∠ODF，

又∵∠BOE＝∠DOF，

∴△BOE≌△DOF（ASA），

∴EO＝FO，

∴四边形BEDF是平行四边形；

（2）当四边形BEDF是菱形时，根据菱形的性质可得：EF与BD互相垂直平分；

（3）∵四边形BEDF是矩形

∴∠AFB＝90°

又∵∠A＝60°，

∴∠ABF＝30°，

∴AF＝AB＝×4＝2，

∴Rt△ABF中，BF＝2 ，

又∵AD＝BC＝6，

∴DF＝6﹣2＝4，

∴矩形BEDF的面积＝BF×DF＝2×4＝8．