Question

在Rt△ACB中,∠C=90°,AC=3 cm,BC=4 cm,以BC为直径作☉O交AB于点D.

(1)求线段AD的长度;

(2)点E是线段AC上的一点,试问当点E在什么位置时,直线ED与☉O相切?请说明理由.

Answer

（1）（2）当点E是AC的中点时,直线ED与⊙O相切

【解析】

（1）由勾股定理易求得AB的长；可连接CD，由圆周角定理知CD⊥AB，易知△ACD∽△ABC，可得关于AC、AD、AB的比例关系式，即可求出AD的长．

（2）当ED与⊙O相切时，由切线长定理知EC=ED，则∠ECD=∠EDC，那么∠A和∠DEC就是等角的余角，由此可证得AE=DE，即E是AC的中点．在证明时，可连接OD，证OD⊥DE即可．

(1)在Rt△ACB中,

∵AC=3cm,BC=4cm,∠ACB=90°,

∴AB=5cm.

如图,连接CD.

∵BC为直径,

∴∠ADC=∠BDC=90°.

∵∠A=∠A,∠ADC=∠ACB,

∴Rt△ADC∽Rt△ACB.

∴.

∴AD=(cm).

(2)当点E是AC的中点时,直线ED与⊙O相切.

证明:如图,连接OD,ED.

∵DE是Rt△ADC的中线,∴ED=EC.

∴∠EDC=∠ECD.

∵OC=OD,∴∠ODC=∠OCD.

∴∠EDO=∠EDC+∠ODC=∠ECD+∠OCD=∠ACB=90°.∴直线ED与⊙O相切.