Question

已知顶点为P的抛物线C₁的解析式为y=a(x-3)²(a≠0),且经过点(0,1).

(1)求a的值及抛物线C₁的解析式;

(2)如图,将抛物线C₁向下平移h(h>0)个单位得到抛物线C₂,过点K(0,m²)(m>0)作直线l平行于x轴,与两抛物线从左到右分别相交于A,B,C,D四点,且A,C两点关于y轴对称.

①点G在抛物线C₁上,当m为何值时,四边形APCG为平行四边形?

②若抛物线C₁的对称轴与直线l交于点E,与抛物线C₂交于点F.试探究:在K点运动过程中,的值是否改变?若会,请说明理由;若不会,请求出这个值.

Answer

（1）y=(x-3)2（2）①当m=时,四边形APCG是平行四边形②

【解析】

（1）直接利用待定系数法求二次函数解析式得出即可；

（2）首先得出△GQK≌△POK（ASA），进而得出顶点G在抛物线C1上，得出2m2=（-3-3）2，进而得出答案；

（3）利用函数对称性表示出A点坐标，再表示出KC，PF的长，进而得出其比值．

(1)∵抛物线C1过点(0,1),∴1=a(0-3)2,解得a=

∴抛物线C1的解析式为y=(x-3)2.

(2)①连接PG,∵点A,C关于y轴对称,

∴点K为AC的中点.

若四边形APCG是平行四边形,则必有点K是PG的中点.

过点G作GQ⊥y轴于点Q,

可得△GQK≌△POK,

∴GQ=PO=3,KQ=OK=m2,OQ=2m2.

∴点G(-3,2m2).

∵顶点G在抛物线C1上,∴2m2=(-3-3)2,

解得m=±,又m>0,∴m=

∴当m=时,四边形APCG是平行四边形.

②不会.在抛物线y=(x-3)2中,令y=m2,

解得x=3±3m,又m>0,且点C在点B的右侧,

∴C(3+3m,m2),KC=3+3m.

∵点A,C关于y轴对称,

∴A(-3-3m,m2).

∵抛物线C1向下平移h(h>0)个单位得到抛物线C2,∴抛物线C2的解析式为y=(x-3)2-h.

∴m2=(-3-3m-3)2-h,

解得h=4m+4,

∴PF=4+4m.

.