Question

如图，在中，，于点，点为中点，连接交于点，且，过点作，交于点．

求证：（1）

（2）．

Answer

（1）证明见解析；（2）证明见解析

【解析】

（1）只要证明△BDF≌△ADC，推出BD=AD，推出∠BAD=∠ABD=2∠CBE=2∠DAC即可解决问题．
（2）延长BE、DG交于点K．先证明Rt△AEF≌Rt△KEG，再根据其性质即可得到结论．

证明：（1）∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°
∵AB=BC，E为AC中点，
∴∠ABE=∠CBE=∠ABC，BE⊥AC，
∴∠BEC=90°，
∴180°-∠C-∠ADC=180°-∠C-∠BEC
即∠CBE=∠CAD，
在△BDF和△ADC中，
，
∴△BDF≌△ADC（AAS），
∴BD=AD，
∴∠BAD=∠ABD=2∠CBE=2∠DAC．

（2）延长BE、DG交于点K．

∵DG∥AB，
∴∠CGD=∠CAB，∠K=∠ABE，
∵∠BAC=∠C，
∴∠CGD=∠C
∵∠K=∠CBE=∠CAD
∠AEF=∠KEG=90°，∠EAF=∠EKG，
∴DG=DC，DK=BD，
∴DG=DF，DK=BD=AD，
∴DK-DG=AD-DF，即GK=AF
在Rt△AEF和Rt△KEG中

，

∴Rt△AEF≌Rt△KEG （AAS），
∴EF=EG．