Question

（1）如图1，是等边三角形边上一动点（点）与点不重合，连接，以为边在上方作等边三角形，连接，你能发现与之间的数量关系吗？并证明你发现的结论．

（2）如图二，当动点在等边三角形边上运动时（点与点不重合），连接，以为边在其上方、下方分别作等边三角形和等边三角形，连接，，探究，与有何数量关系？并证明你探究的结论．

（3）如图三，当动点在等边三角形边的延长线上运动时，其他作法与图2相同，若，请直接写出　　　　．

Answer

（1）；（2）；（3）6

【解析】

（1）由等边三角形的性质可得AC=BC，DC=CE，∠ACB=∠DCE=60°，可得∠ACE=∠BCD，根据“SAS”可证△BCD≌△ACE，即AE=BE；
（2）由等边三角形的性质可得AC=BC，DC=CF，∠ACB=∠DCF=60°，可得∠FCB=∠DCA，根据“SAS”可证△ACD≌△BCF，即BF=AD，即可得AB=AE=BF；
（3）根据等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质可得AE=BD，BF=AD，即可求AB的长．

【解析】
（1）AE=BD,理由如下：

∵△ABC和△DCE是等边三角形
∴AC=BC，DC=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACE=∠BCD，且AC=BC，DC=CE
∴△BCD≌△ACE（SAS）
∴AE=BD
（2）AB=AE+BF，
理由如下：∵△ABC和△DCF是等边三角形，
∴AC=BC，CF=CD，∠FCD=∠BCA=60°，
∴∠FCB=∠DCA，且AC=BC，CF=CD，
∴△ACD≌△BCF（SAS）
∴BF=AD，
由（1）可知，BD=AE，
∵AB=BD+AD，
∴AB=AE+BF
（3）∵△ABC和△DCE是等边三角形，
∴AC=BC，DC=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠BCD=∠ACE，且AC=BC，DC=CE，
∴△BCD≌△ACE（SAS）
∴AE=BD=8，
∵△ABC和△DCF是等边三角形，
∴AC=BC，CF=CD，∠FCD=∠BCA=60°，
∴∠FCB=∠DCA，且AC=BC，CF=CD，
∴△ACD≌△BCF（SAS）
∴BF=AD=2，
∵AB=BD-AD
∴AB=8-2=6.