Question

如图所示，在平面直角坐标系中，过点A（﹣，0）的两条直线分别交y轴于B、C两点，且B、C两点的纵坐标分别是一元二次方程x²﹣2x﹣3=0的两个根

（1）求线段BC的长度；

（2）试问：直线AC与直线AB是否垂直？请说明理由；

（3）若点D在直线AC上，且DB=DC，求点D的坐标；

（4）在（3）的条件下，直线BD上是否存在点P，使以A、B、P三点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）4；（2）AC⊥AB，理由见解析；（3）D（﹣2，1）；（4）点P的坐标为（﹣3，0），（﹣，2），（﹣3，3﹣），（3，3+）．

【解析】

试题（1）解出方程后，即可求出B、C两点的坐标，即可求出BC的长度；（2）由A、B、C三点坐标可知OA2=OC•OB，所以可证明△AOC∽△BOA，利用对应角相等即可求出∠CAB=90°；（3）容易求得直线AC的解析式，由DB=DC可知，点D在BC的垂直平分线上，所以D的纵坐标为1，将其代入直线AC的解析式即可求出D的坐标；（4）A、B、P三点为顶点的三角形是等腰三角形，可分为以下三种情况：①AB=AP；②AB=BP；③AP=BP；然后分别求出P的坐标即可．

试题解析：（1）∵x2﹣2x﹣3=0，

∴x=3或x=﹣1，

∴B（0，3），C（0，﹣1），

∴BC=4；

（2）∵A（﹣，0），B（0，3），C（0，﹣1），

∴OA=，OB=3，OC=1，

∴OA2=OB•OC，

∵∠AOC=∠BOA=90°，

∴△AOC∽△BOA，

∴∠CAO=∠ABO，

∴∠CAO+∠BAO=∠ABO+∠BAO=90°，

∴∠BAC=90°，

∴AC⊥AB；

（3）设直线AC的解析式为y=kx+b，

把A（﹣，0）和C（0，﹣1）代入y=kx+b，

∴，

解得：，

∴直线AC的解析式为：y=﹣x﹣1，

∵DB=DC，

∴点D在线段BC的垂直平分线上，

∴D的纵坐标为1，

∴把y=1代入y=﹣x﹣1，

∴x=﹣2，

∴D的坐标为（﹣2，1），

（4）设直线BD的解析式为：y=mx+n，直线BD与x轴交于点E，

把B（0，3）和D（﹣2，1）代入y=mx+n，

∴，

解得，

∴直线BD的解析式为：y=x+3，

令y=0代入y=x+3，

∴x=﹣3，

∴E（﹣3，0），

∴OE=3，

∴tan∠BEC==，

∴∠BEO=30°，

同理可求得：∠ABO=30°，

∴∠ABE=30°，

当PA=AB时，如图1，

此时，∠BEA=∠ABE=30°，

∴EA=AB，

∴P与E重合，

∴P的坐标为（﹣3，0），

当PA=PB时，如图2，

此时，∠PAB=∠PBA=30°，

∵∠ABE=∠ABO=30°，

∴∠PAB=∠ABO，

∴PA∥BC，

∴∠PAO=90°，

∴点P的横坐标为﹣，

令x=﹣代入y=x+3，

∴y=2，

∴P（﹣，2），

当PB=AB时，如图3，

∴由勾股定理可求得：AB=2，EB=6，

若点P在y轴左侧时，记此时点P为P1，

过点P1作P1F⊥x轴于点F，

∴P1B=AB=2，

∴EP1=6﹣2，

∴sin∠BEO=，

∴FP1=3﹣，

令y=3﹣代入y=x+3，

∴x=﹣3，

∴P1（﹣3，3﹣），

若点P在y轴的右侧时，记此时点P为P2，

过点P2作P2G⊥x轴于点G，

∴P2B=AB=2，

∴EP2=6+2，

∴sin∠BEO=，

∴GP2=3+，

令y=3+代入y=x+3，

∴x=3，

∴P2（3，3+），

综上所述，当A、B、P三点为顶点的三角形是等腰三角形时，点P的坐标为（﹣3，0），（﹣，2），（﹣3，3﹣），（3，3+）．