Question

如图，中，的垂直平分线分别交于点，交于点，连接，，，的面积为54，则线段的长为__________．

Answer

6

【解析】

过C点作CN⊥AB的延长线于N，过B点作BM⊥AC于M，根据DE垂直平分AC，从而证出，再根据，从而证出，证出MC=NC，设AB=x，DM=y，则CN=x+y，然后根据，得到AB：AC=AM：AN，继而得出AN=2(x-y)，在Rt中，根据勾股定理得出x和y的关系，再根据的面积为54，所以有的面积也为54，所以，从而求出x、y的值，再根据BD2=x2-(x-y)2+y2，即可求出答案.

过C点作CN⊥AB的延长线于N，过B点作BM⊥AC于M.

∵DE垂直平分AC
∴BM//DE

∴

又∵

∴

∵

∴

∴

∵BM⊥AC，CN⊥AB

∴MC=CN

设AB=x，DM=y

∵AB=AD, DE垂直平分AC

∴AD=CD=x，CN=x+y

∵的面积为54

∴的面积也为54

∴

∵，

∴

∴AB：AC=AM：AN=1: 2

∴AN=2AM=2(x-y)

在Rt中，根据勾股定理可得，(x+y)2+[2(x+y)]2=(2x)2

解得，x=5y或x=y（不合题意舍去）

∵

∴xy=36

在Rt中，BM2=x2—(x-y)2

在Rt中，BD2=x2-(x-y)2+y2=2xy

∴BD2=72，

∴BD=6

故答案为：6