Question

在平面直角坐标系中，点为第一象限内一点，点为轴正半轴上一点，分别连接，，为等边三角形，点的横坐标为4.

（1）如图1，求线段的长；

（2）如图2，点在线段上（点不与点、点重合），点在线段的延长线上，连接，，，设的长为，的长为，求与的关系式（不要求写出的取值范围）

（3）在（2）的条件下，点为第四象限内一点，分别连接，，，为等边三角形，线段的垂直平分线交的延长线于点，交于点，连接，交于点，连接，若，求点的横坐标.

Answer

(1)8;（2）d=t+8;(3)6

【解析】

（1）过点B作BH⊥OA于点H，根据等边三角形的性质解答即可；
（2）过点M作MP⊥AB于点P，根据等边三角形的性质解答即可；
（3）过点N作NK∥OB，交x轴于点K，过点N作NR⊥x轴于点R，通过等边三角形的性质和全等三角形的性质得到AN=8+t-8=t，OM=t，AH=MH=AM=（8-t）=4-t，
OH=OM+MH=t+4-t=4+t，通过证明AM=AN，可得关于t的方程，求出t，即可得点E的横坐标．

【解析】
（1）如图，过点B作BH⊥OA于点H，

∵△AOB为等边三角形，
∴BO=BA，
∵BH⊥OA，
∴OH=AH，
∵点B横坐标为4，
∴OH=4，
∴OA=2HO=8；
（2）如图，过点M作MP⊥AB于点P，

∴∠MPA=90°，
∵BM=MN，
∴BP=PN，
∵△AOB为等边三角形，
∴BA=AO=8，∠BAO=60°，
∴∠AMP=30°，
∴AP=AM，
∵AM=8-t，
∴AP=（8-t）=4-t，
∴BP=AB-AP=4+t，
∴BN=2BP=8+t，
∴d=8+t
（3）过点N作NK∥OB，交x轴于点K，过点N作NR⊥x轴于点R，

∵△AOB为等边三角形，
∴∠BOA=60°=∠OAB，
∵NK∥OB，
∴∠NKA=∠BOA=60°，且∠OAB=∠NAK=60°，
∴∠NAK=∠NKA=60°，
∴△AKN是等边三角形
∴AN=NK=AK，
∵△MND为等边三角形，
∴∠NMD=∠MND=60°，MN=MD，
∴∠OMD+∠NMK=∠NMK+∠MNK=180°-60°=120°，
∴∠OMD=∠MNK，
∵AN=8+t-8=t，OM=t，
∴OM=AN=NK=AK=t，且∠OMD=∠MNK，MD=MN，
∴△OMD≌△KNM（SAS），
∴OD=MK，∠MOD=∠MKN=60°，
∵MK=8-t+t=8，
∴OD=8，
∵EH垂直平分MA，
∴AH=MH=AM=（8-t）=4-t，
∴OH=OM+MH=t+4-t=4+t，
∵∠OEH=90°-60°=30°，
∴OE=2HO=8+t，
∴DE=8+t-8=t，
∴DE=AN，
∵∠DOA=∠BAO，
∴BN∥OE，
∴∠NAF=∠DEF，
又∵∠AFN=∠EFD，AN=DE，
∴△AFN≌△EFD（AAS），
∴FN=FD，
又∵MN=MD，
∴MF⊥DN，
∵NR⊥AK，
∴∠ARN=90°，且∠NAK=60°，
∴∠ANR=30°，
∴AR=AN，
∵MR=AM+AR=AM+AN，MF=AM+AN，
∴MR=MF，且 MF⊥DN，NR⊥AK，
∴∠MNR=∠MND=60°，
∴∠NMA=90°-60°=30°，
∵∠BAO=∠AMN+∠ANM，
∴∠AMN=∠ANM=30°，
∴AM=AN，
∴8-t=t，
∴t=4，
∴OH=4+×4=6，
∴点E的横坐标为6．