Question

如图①，Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠CAB的平分线交BC于点O，以O为圆心，OB长为半径作⊙O．

（1）求证：⊙O与AC相切．

（2）若AB=6，AC=10．

①求⊙O的半径；

②如图②，延长AO交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线，分别交AC、AB的延长线于E、F，试求EF的长．

Answer

（1）见解析；（2）①；②

【解析】

（1）根据角平分线的性质，可以证明本结论成立；

（2）①根据切线的性质可知AB=AM，根据勾股定理可以求得BC的长，进而可以求得圆的半径的长；

②根据题意可以求得AD的长，然后根据三角形相似可以求得DF的长，由等腰三角形的性质可以求得EF的长．

（1）证明：∵∠ABC=90°，∠CAB的平分线是AO，

∴点O到AB和到AC的距离相等，

∴点O到AC的距离等于圆O的半径，

∴⊙O与AC相切；

（2）①作OM⊥AC于点M，如图所示，

∵AB=6，AC=10，∠ABC=90°，

∴BC=8，AB=AM=6，

∴MC=4，OC=8-OB，

设圆O的半径是r，

∴r2+42=（8-r）2

解得，r=3，

即⊙O的半径是3；

②∵AB=6，BO=3，∠ABO=90°，

∴AO=3，

∴AD=3+3，

∵AD⊥EF，

∴∠ADF=90°，

∴∠ADF=∠ABO=90°，

∵∠DAF=∠BAO，

∴△DAF∽△BAO，

∴，

即，

解得，DF=，

∵AD平分∠EAF，AD⊥EF，

∴EF=2DF=3+3．