Question

如图1，抛物线y＝mx²﹣4mx+3m（m＞0）与x轴交于A，B两点（点B在点A右侧）．与y轴交点C，与直线l：y＝x+1交于D、E两点，

（1）当m＝1时，连接BC，求∠OBC的度数；

（2）在（1）的条件下，连接DB、EB，是否存在抛物线在第四象限上一点P，使得S_△DBE＝S_△DPE？若存在，求出此时P点坐标及PB的长度；若不存在，请说明理由；

（3）若以DE为直径的圆恰好与x轴相切，求此时m的值．

Answer

（1）∠OBC＝45°；（2）存在，P（2，﹣1），BP=；（3）m＝ 或﹣．

【解析】

（1）抛物线y=mx2-4mx+3m=m（x2-4x+3）=m（x-1）（x-3），把当m=1代入即可求解；

（2）S△DBE=S△DPE，∴点B、点P到直线DE的距离相等即可求解；

（3）求出DE的中点坐标为（，），即DE的长度，则圆的半径=DE，利用=DE，即可求解．

（1）∵抛物线y＝mx2﹣4mx+3m＝m（x2﹣4x+3）＝m（x﹣1）（x﹣3），

∴A（1，0），B（3，0），

∴OB＝3，

当m＝1时，抛物线解析式为y＝x2﹣4x+3，

∴C（0，3），∴OC＝3，

∴OB＝OC，在Rt△OBC中，∠BOC＝90°，

∴∠OBC＝45°；

（2）∵S△DBE＝S△DPE，

∴点B、点P到直线DE的距离相等，即可求解，

∴BP∥DE，

由（1）知，B（3，0），

∵直线DE的解析式为y＝x+1，

∴直线BP的解析式为y＝x﹣3①，

∵抛物线解析式为y＝x2﹣4x+3②，

联立①②解得，或（点B的坐标，舍去），

∴P（2，﹣1），

∵B（3，0），

∴BP＝＝；

（3）∵点D，E在直线y＝x+1上，

∴设D（x1，y1），E（x2，y2），

∵抛物线y＝mx2﹣4mx+3m…③，

直线l：y＝x+1…④，

联立③④得，mx2﹣4mx+3m＝x+1，

∴mx2﹣（4m+1）x+（3m﹣1）＝0，

∴x1+x2＝，x1x2＝，

∴y1+y2＝x1+x2+2＝，

∴DE的中点坐标为（，），

DE＝＝＝＝，

∵以DE为直径的圆恰好与x轴相切，

∴圆的半径＝DE，

则：＝ ，

整理得：28m2﹣12m﹣1＝0，

解得：m＝或﹣．