Question

如图，直线y=2x+2与y轴交于A点，与反比例函数（x＞0）的图象交于点M，过M作MH⊥x轴于点H，且tan∠AHO=2．

（1）求k的值；

（2）点N（a，1）是反比例函数（x＞0）图象上的点，在x轴上是否存在点P，使得PM+PN最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

     

Answer

【解析】
（1）由y=2x+2可知A（0，2），即OA=2。

∵tan∠AHO=2，∴OH=1。

∵MH⊥x轴，∴点M的横坐标为1。

∵点M在直线y=2x+2上，

∴点M的纵坐标为4．即M（1，4）。

∵点M在上，∴k=1×4=4。

（2）存在。

∵点N（a，1）在反比例函数（x＞0）上，

∴a=4．即点N的坐标为（4，1）。

过点N作N关于x轴的对称点N1，连接MN1，交x轴于P（如图所示）。

此时PM+PN最小。

∵N与N1关于x轴的对称，N点坐标为（4，1），∴N1的坐标为（4，﹣1）。

设直线MN1的解析式为y=kx+b。

由解得。

∴直线MN1的解析式为。

令y=0，得x=．

∴P点坐标为（，0）。

【解析】（1）根据直线解析式求A点坐标，得OA的长度；根据三角函数定义可求OH的长度，得点M的横坐标；根据点M在直线上可求点M的坐标．从而可求K的值；

（2）根据反比例函数解析式可求N点坐标；作点N关于x轴的对称点N1，连接MN1与x轴的交点就是满足条件的P点位置：

根据轴对称的性质，线段中垂线的性质和三角形三边关系，对x轴上任一点P1，总有

P1M＋P1N＞MN1=PM＋PN。