Question

已知四边形ABCD的一组对边AD、BC的延长线交于点E.

(1)如图①，若∠ABC＝∠ADC＝90°，求证：ED·EA＝EC·EB；

(2)如图②，若∠ABC＝120°，cos∠ADC＝，CD＝5，AB＝12，△CDE的面积为6，求四边形ABCD的面积；

(3)如图③，另一组对边AB、DC的延长线相交于点F.若cos∠ABC＝cos∠ADC＝，CD＝5，CF＝ED＝n，直接写出AD的长(用含n的式子表示)．

Answer

(1)详见解析；（2）18 ；（3）.

【解析】

试题（1）证明△EAB∽△ECD，根据相似三角形的性质即可得结论；（2）过点C作CG⊥AD于点D，过点A作AH⊥BC于点H.在Rt△CDG中利用已知条件求得DG、OG的长，再根据△CDE的面积为6，可求得DE的长，在△ABH中求得BH、AH的长，利用（1）△EAB∽△ECD，可求得EH的长，由S四边形ABCD＝S△AEH－S△ECD－S△ABH即可求得四边形ABCD的面积；（3）由（1）（2）提供的思路即可求解.

试题解析：

(1)证明：∵∠ADC＝90°，

∴∠EDC＝90°，

∴∠ABE＝∠CDE.

又∵∠AEB＝∠CED，

∴△EAB∽△ECD，

∴＝，

∴ED·EA＝EC·EB.

(2)过点C作CG⊥AD于点D，过点A作AH⊥BC于点H.

∵CD＝5，cos∠ADC＝，

∴DG＝3，CG＝4.

∵S△CED＝6，

∴ED＝3，

∴EG＝6.

∵AB＝12，∠ABC＝120°，则∠BAH＝30°，

∴BH＝6，AH＝6.

由(1)得△ECG∽△EAH，

∴＝，

∴EH＝9，

∴S四边形ABCD＝S△AEH－S△ECD－S△ABH＝×6×9－6－×6×6＝75－18.

(3)作CH⊥AD于H，则CH＝4，DH＝3.

∴tanE＝.作AG⊥DF于点G.

设AD＝5a，则DG＝3a，AG＝4a，

∴FG＝DF－DG＝5＋n－3a.

∵CH⊥AD，AG⊥DF，∠E＝∠F，

∴△AFG∽△CEH，

∴＝，

∴＝，

∴a＝，

∴AD＝5a＝.