Question

如图1，已知抛物线y=﹣x²+bx+c交y轴于点A（0，4），交x轴于点B（4，0），点P是抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线PQ，过点A作AQ⊥PQ于点Q，连接AP．

（1）填空：抛物线的解析式为　   　，点C的坐标　   　；

（2）点P在抛物线上运动，若△AQP∽△AOC，求点P的坐标；

（3）如图2，当点P位于抛物线的对称轴的右侧，若将△APQ沿AP对折，点Q的对应点为点Q'，请直接写出当点Q'落在坐标轴上时点P的坐标．

Answer

（1）y=﹣x2+3x+4；（﹣1，0）；（2）点P的坐标为（，）或（，）；（3）点P的坐标为（4，0）或（5，﹣6）或（2，6）

【解析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式，然后利用抛物线解析式得到一元二次方程，通过解一元二次方程得到C点坐标；

（2）利用△AQP∽△AOC得到AQ=4PQ，设P（m，﹣m2+3m+4），所以m=4|4﹣（﹣m2+3m+4|，然后解方程4（m2﹣3m）=m和方程4（m2﹣3m）=﹣m得P点坐标；

（3）设P（m，﹣m2+3m+4）（m＞），当点Q′落在x轴上，延长QP交x轴于H，如图2，则PQ=m2﹣3m，证明Rt△AOQ′∽Rt△Q′HP，利用相似比得到Q′B=4m﹣12，则OQ′=12﹣3m．在Rt△AOQ′中，利用勾股定理得到方程42+（12﹣3m）2=m2，然后解方程求出m得到此时P点坐标；当点Q′落在y轴上，易得点A、Q′、P、Q所组成的四边形为正方形，利用PQ=PQ′得到|m2﹣3m|=m，然后解方程m2﹣3m=m和方程m2﹣3m=﹣m得此时P点坐标．

（1）把A（0，4），B（4，0）分别代入y=﹣x2+bx+c得：

，

解得：，∴抛物线解析式为y=﹣x2+3x+4，

当y=0时，﹣x2+3x+4=0，解得：x1=﹣1，x2=4，∴C（﹣1，0）；

故答案为：y=﹣x2+3x+4；（﹣1，0）；

（2）∵△AQP∽△AOC，∴====4，即AQ=4PQ．

设P（m，﹣m2+3m+4），∴m=4|4﹣（﹣m2+3m+4|，

即4|m2﹣3m|=m，解方程4（m2﹣3m）=m得：m1=0（舍去），m2=，

此时P点坐标为（）；

解方程4（m2﹣3m）=﹣m得：m1=0（舍去），m2=，

此时P点坐标为（）；

综上所述：点P的坐标为（）或（）；

（3）设P（m，﹣m2+3m+4）（m＞），

当点Q′落在x轴上，延长QP交x轴于H，如图2，

则PQ=4﹣（﹣m2+3m+4）=m2﹣3m．

∵△APQ沿AP对折，点Q的对应点为点Q'，

∴∠AQ′P=∠AQP=90°，AQ′=AQ=m，PQ′=PQ=m2﹣3m．

∵∠AQ′O=∠Q′PH，∴Rt△AOQ′∽Rt△Q′HP，

∴=，即=，解得：Q′B=4m﹣12，

∴OQ′=m﹣（4m﹣12）=12﹣3m．

在Rt△AOQ′中，42+（12﹣3m）2=m2，

整理得：m2﹣9m+20=0，解得：m1=4，m2=5，

此时P点坐标为（4，0）或（5，﹣6）；

当点Q′落在y轴上，则点A、Q′、P、Q所组成的四边形为正方形，

∴PQ=PQ′，即|m2﹣3m|=m，解方程m2﹣3m=m得：m1=0（舍去），m2=4，

此时P点坐标为（4，0）；

解方程m2﹣3m=﹣m得：m1=0（舍去），m2=2，此时P点坐标为（2，6）．

综上所述：点P的坐标为（4，0）或（5，﹣6）或（2，6）