Question

已知，在平面直角坐标系中，A（a，0）、B（0，b），a、b满足 +|a−3 |＝0．C为AB的中点，P是线段AB上一动点，D是x轴正半轴上一点，且PO=PD，DE⊥AB于E．

（1）求∠OAB的度数；

（2）设AB=6，当点P运动时，PE的值是否变化？若变化，说明理由；若不变，请求PE的值；

（3）设AB=6，若∠OPD=45°，求点D的坐标.

Answer

(1) 45°；（2）PE的值不变，PE=3；（3）D(−6，0)．

【解析】

试题（1）根据非负数的性质即可求得a，b的值，从而得到△AOB是等腰直角三角形，据此即可求得；

（2）根据等腰三角形的性质以及三角形的外角的性质可以得到∠POC=∠DPE，即可证得△POC≌△DPE，则OC=PE，OC的长度根据等腰直角三角形的性质可以求得；

（3）利用等腰三角形的性质，以及外角的性质证得∠POC=∠DPE，即可证得△POC≌△DPE，根据全等三角形的对应边相等，即可求得OD的长，从而求得D的坐标．

试题解析：（1）根据题意得：

，

解得：a=b=，

∴OA=OB，

又∵∠AOB=90°

∴△AOB为等腰直角三角形，

∴∠OAB=45°．

（2）PE的值不变．理由如下：

∵△AOB为等腰直角三角形，且AC=BC，

∴∠AOC=∠BOC=45°

又∵OC⊥AB于C，

∵PO=PD

∴∠POD=∠PDO

又∵∠POD=45°+∠POC∠PDO=45°+∠DPE，

∴∠POC=∠DPE

在△POC和△DPE中，

∴△POC≌△DPE，

∴OC=PE

又OC=AB=3

∴PE=3；

（3）∵OP=PD，

∴∠POD=∠PDO=，

则∠PDA=180°-∠PDO=180°-67.5°=112.5°，

∵∠POD=∠A+∠APD，

∴∠APD=67.5°-45°=22.5°，

∴∠BPO=180°-∠OPD-∠APD=112.5°，

∴∠PDA=∠BPO

则在△POB和△DPA中，

，

∴△POB≌△DPA．

∴PA=OA=，

∴DA=PB=6-，

∴OD=OA-DA=-（6-）=-6

∴D(−6，0)．