Question

如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边AB、CD上的点，AE=CF，连接EF、BF，EF与对角线AC交于点O，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC．

（1）求证：OE=OF；

（2）若BC=2，求AB的长．

Answer

（1）证明见解析；（2）6.

【解析】

试题（1）根据△AEO和△CFO全等来进行说明；（2）连接OB，得出△BOF和△BOE全等，然后求出∠BAC的度数，根据∠BAC的正切值求出AB的长度．

试题解析：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD ∴∠OAE=∠OCF ∠OEA=∠OFC ∵AE=CF

∴△AEO≌△CFO ∴OE=OF

（2）连接BO ∵OE=OF BE=BF

∴BO⊥EF 且∠EBO=∠FBO ∴∠BOF=90°

∵四边形ABCD是矩形

∴∠BCF=90°

∵∠BEF=2∠BAC ∠BEF=∠BAC+∠EOA

∴∠BAC=∠EOA AE=OE

∵AE=CF OE=OF

∴OF=CF 又∵BF=BF

∴Rt△BOF≌Rt△BCF

∴∠OBF=∠CBF

∴∠CBF=∠FBO=∠OBE

∵∠ABC=90° ∠OBE=30°

∴∠BEO=60° ∠BAC=30°

∵tan∠BAC=

∴tan30°=即∴AB=6．