Question

如图，在平面直角坐标系中，已知矩形AOBC的顶点C的坐标是（2，4），动点P从点A出发，沿线段AO向终点O运动，同时动点Q从点B出发，沿线段BC向终点C运动．点P、Q的运动速度均为每秒1个单位，设运动时间为t秒，过点P作PE⊥AO交AB于点E．

（1）求直线AB的解析式；

（2）在动点P、Q运动的过程中，以B、Q、E为顶点的三角形是直角三角形，直按写出t的值；

（3）设△PEQ的面积为S，求S与时间t的函数关系，并指出自变量t的取值范围．

Answer

（1）y＝﹣2x+4（2）2或（3）S＝t2﹣t（2＜t≤4）

【解析】

（1）依据待定系数法即可求得；

（2）根据直角三角形的性质解答即可；

（3）有两种情况：当0＜t＜2时，PF＝4﹣2t，当2＜t≤4时，PF＝2t﹣4，然后根据面积公式即可求得；

（1）∵C（2，4），

∴A（0，4），B（2，0），

设直线AB的解析式为y＝kx+b，

∴，

解得，

∴直线AB的解析式为y＝﹣2x+4．

（2）当以B、Q、E为顶点的三角形是直角三角形时，P、E、Q共线，此时t＝2，

当以B、Q、E为顶点的三角形是直角三角形时，EQ⊥BE时，此时t＝；

（3）如图2，过点Q作QF⊥y轴于F，

∵PE∥OB，

∴，

∵AP＝BQ＝t，∴PE＝t，AF＝CQ＝4﹣t，

当0＜t＜2时，PF＝4﹣2t，

∴S＝PE•PF＝×t（4﹣2t）＝t﹣t2，

即S＝﹣t2+t（0＜t＜2），

当2＜t≤4时，PF＝2t﹣4，

∴S＝PE•PF＝×t（2t﹣4）＝t2﹣t（2＜t≤4）．