Question

如图，等腰直角△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，BD⊥AC于D，点M在AD上，连接BM，过点C作CN⊥BM于点E，交AB于N，交BD于F，连接DE，AE．

（1）若∠BCN＝30°，EN＝2，求AN的长；

（2）若DE⊥AE于E，DG⊥DE交CN于G，求证：CE＝AE．

Answer

（1）4-4（2）证明见解析

【解析】

（1）根据∠ABC＝90°，CN⊥BM可得∠EBN=∠BCN＝30°,根据直角三角形的性质求出BN，再根据勾股定理求出BC的值，再根据AB＝BC即可解决问题；

（2）根据等腰三角形的性质证出D为AC的中点证明，再根据AE⊥DE，DE⊥DG得出DG∥AE，进而证明DG＝AE，再证明△DEG是等腰直角三角形即可解决问题；

（1）【解析】
∵∠BCN＝30°，∠CBN＝90°，

∴∠CNB＝60°，∵BE⊥CN，∴∠EBN＝30°，

∵EN＝2，∴BN＝4，∴CN＝8

∴BC＝BA＝4，

∴AN＝AB﹣BN＝4﹣4．

（2）∵BA＝BC，BD⊥AC，

∴AD＝DC＝BD，

∵AE⊥DE，DE⊥DG，

∴∠AED＝∠EDG＝90°，

∴DG∥AE，

∴EG＝GC，

∴DG＝AE，

∠EDG＝∠BDC＝90°，

∴∠BDE＝∠CDG，

∵∠BEF＝∠FDC＝90°，∠BFE＝∠CFD，

∴∠DBE＝∠DCG，∵BD＝CD，

∴△BDE≌△CDG，

∴DE＝DG，

∴EG＝DG，

∴2EG＝•（2DG），

即EC＝AE．