Question

如果一个正整数的奇数数位上的数字之和与偶数数位上的数字之和的差（通常用大减小）是11的倍数，则这个正整数一定能被11整除．比如整数90827，奇数数位上数字之和为9+8+7＝24，偶数数位上数字之和0+2＝2，24﹣2＝22，因为22为11的倍数，所以整数90827能被11整除；又比如143，奇数数位上数字之和为1+3＝4，偶数数位上数字之和4，4﹣4＝0，因为0为11的倍数，所以143能被11整除；

（1）直接写出能被11整除的最小的三位正整数为　   　，能被11整除的最大的四位正整数为　   　

（2）若四位正整数abcd能被ll整除．求证：正整数bcd﹣a也一定能被11整除；

（3）若一个三位正整数abc能被11整除（其中0＜a≤5，0＜c≤5），在这个三位数的首位数字前添上1后，得到的新的四位数labc还能被7整除，求原来这个三位正整数．

Answer

（1）9999（2）正整数bcd﹣a一定能被11整除（3）235或484

【解析】

（1）由题意可以直接解得

（2）四位正整数abcd能被ll整除，设（a+c）﹣（b+d）＝11k（k为整数），可以得b+d﹣a﹣c＝﹣11k，则结论可证．

（3）根据一个三位正整数abc能被11整除（其中0＜a≤5，0＜c≤5），可得a+c＝b，根据若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除，可得a，c的关系式，把a的值代入即可

（1）由题意可得：最小的三位正整数为111，最大的四位正整数为9999

（2）∵四位正整数abcd能被ll整除

∴设（a+c）﹣（b+d）＝11k（k为整数）

∴b+d﹣c﹣a＝﹣11k

∴正整数bcd﹣a一定能被11整除

（3）∵正整数abc能被11整除

∴a+c﹣b＝11k（k为整数），

∵0＜a≤5，0＜c≤5

∴0＜a+c≤10

∴0≤a+c﹣b≤10

∴a+c﹣b＝0时，正整数abc能被11整除

∴a+c＝b

∵四位数labc还能被7整除（若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除）

∴100+10a+b﹣2c也是7的倍数

∴100+11a﹣c是7的倍数

∴当a＝1时，c＝6（舍去）

当a＝2时，c＝3 则b＝5

当a＝3时，c＝0（舍去）

当a＝4时，c＝4 则b＝8

∴三位数为235或484